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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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7. Determine la convergencia o divergencia de las series que siguen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional.
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}+5 n}$

Respuesta

Otra vez estamos frente a una serie alternada, así que vamos a seguir los pasos y razonamientos que vimos en esa clase :)

Arrancamos estudiando convergencia absoluta: $ \sum_{n=0}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n}}{3^{n}+5 n} \right| = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+5 n} $ Sospechamos fuertemente que esta serie se va a comportar igual que: $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}+5 n} \approx \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{3^{n}} = \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{3})^n $   

Y esta serie sabemos que converge, por ser una serie geométrica con $|r| < 1$. Demostremos usando el criterio de comparación vía límite que ambas series efectivamente se comportan igual:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3^{n}+5 n}}{\frac{1}{3^{n}}} = \lim_{n \to \infty}  \frac{3^n}{3^n + 5n} = 1$

Sacás factor común $3^n$ en ese último paso para justificar que tiende a $1$

Como el resultado del límite es $> 0$, entonces el criterio de comparación nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge absolutamente. Y, como vimos en la clase, si converge absolutamente, también lo hará condicionalmente así que no es necesario continuar con el análisis :)
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Avatar Rocío 2 de julio 20:49
Hola Flor, no me termino de dar cuenta cuándo es mejor usar el criterio de comparación directa y el vía limites, es lo mismo o es mejor en algunos casos q en otros?
Avatar Flor Profesor 3 de julio 11:24
@Rocío Hola Rocío! Mirá, hay muchas veces que se podrían usar cualquiera de los dos... Por ejemplo, en este caso también podrías haber usado comparación directa, planteando que:

$\frac{1}{3^{n}+5 n} \leq \frac{1}{3^{n}}$

y como $\frac{1}{3^{n}}$ converge, entonces por comparación directa, la otra también.  

Pero consejo, y esto es muy subjetivo, pero para mi casi siempre es más seguro y hay menos chance de meter la pata con el vía límite... De hecho si yo puedo elegir cuál usar, vas a ver que en la gran mayoría de los ejercicios tomo límite 
Avatar Rocío 3 de julio 14:47
ahh bueno bueno, graciass! pasa q recién me meto con todo esto de series y mañana rindo jakjdj
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