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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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7. Determine la convergencia o divergencia de las series que siguen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional.
d) ∑n=1∞(−1)n(2n+1003n+1)n\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{2 n+100}{3 n+1}\right)^{n}

Respuesta

Primero, estudiemos convergencia absoluta: ∑n=1∞∣(−1)n(2n+1003n+1)n∣=∑n=1∞(2n+1003n+1)n\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\left(\frac{2 n+100}{3 n+1}\right)^{n}\right| = \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n+100}{3 n+1}\right)^{n} Veamos si esta serie converge o no usando el Criterio de Cauchy: lim⁡n→∞(2n+1003n+1)nn=lim⁡n→∞2n+1003n+1=lim⁡n→∞2n+1003n+1=23\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{2 n+100}{3 n+1}\right)^{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 n+100}{3 n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 n+100}{3 n+1} = \frac{2}{3} Dado que 23<1\frac{2}{3} < 1, Cauchy nos asegura que la serie converge.

Por lo tanto, nuestra serie converge absolutamente, y como vimos en la clase de series alternadas, dado que la serie converge absolutamente no es necesario estudiar la convergencia condicional ;)
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