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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
7.
Escribir como un intervalo o una unión de intervalos y representar en la recta real.
j) $\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ \frac{6x^2}{2x-5}>3x\right\}$
j) $\left\{x\in\mathbb{R}\ |\ \frac{6x^2}{2x-5}>3x\right\}$
Respuesta
Reducimos la expresión a una sola fracción
$\frac{6x^2}{2x-5}>3x$
$\frac{6x^2}{2x-5}-\frac{3x}{1}>0$
$\frac{6x^2-3x\left(2x-5\right)}{2x-5}>0$
$\frac{6x^2-6x^2+15x}{2x-5}>0$
$\frac{15x}{2x-5}>0$
Tal como se explica en el video de inecuaciones, al tener una división cuyo resultado es menor a cero $(>0)$, la única posibilidad para que ocurra esto es que tanto numerador como denominador tengan el mismo signo. De esta forma podemos platear dos casos:
Caso 1:
$15x>0$ y $2x-5>0$
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Tal como se explica en el video de inecuaciones, al tener una división cuyo resultado es menor a cero $(>0)$, la única posibilidad para que ocurra esto es que tanto numerador como denominador tengan el mismo signo. De esta forma podemos platear dos casos:
Caso 1:
$15x>0$ y $2x-5>0$
$x>\frac{0}{15} $ y $2x>5$
$x>0$ y $x>\frac{5}{2}$
Los valores de $x$ que cumplen estas condiciones son los valores $x>\frac{5}{2}$. Por lo tanto la solución del caso 1 estará dada por los valores de $x$ pertenecientes al conjunto $\left(\frac{5}{2},+\infty\right)$.
Caso 2:
Caso 2:
$15x<0$ y $2x-5<0$
$x<\frac{0}{15}$ y $2x<5$
$x<0$ y $x<\frac{5}{2}$
Los valores de $x$ que cumplen estas condiciones son los valores $x<0$. Por lo tanto la solución del caso 2 estará dada por los valores de $x$ pertenecientes al conjunto $\left(-\infty,0\right)$.
Por lo tanto la solución total será la unión de ambas soluciones: $S_1 \cup S_2$
Solución: $x\in \left(-\infty,0\right) \cup \left(\frac{5}{2},+\infty\right)$.