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Análisis Matemático 66

2024 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

EJERCICIO 3.1

Dada $f(x)=x^{2}+3 x-1$

a) En una hoja de cálculo hallar la pendiente de la recta secante que pasan por $A=(1, f(1))$ y $B=(2, f(2))$
b) Dejando fijo el punto $A$, hacer que $B$ se acerque por el lado derecho de $A$ disminuyendo el valor de $x$ en 0,1 cada vez y calcular las distintas pendientes de las rectas secantes. Llegar hasta $B_{n}=(1,1 ; f(1,1))$. Observar los valores que va tomando la pendiente.
c) Hallar la pendiente de la recta secante que pasan por $A=(1, f(1))$ y $C=$ $(0, f(0))$
d) Acercar $C$ al punto $A$ por el lado izquierdo, aumentando los valores de $x$ en $0,1 \mathrm{y}$ calculando las distintas pendientes de las rectas secantes. Llegar hasta $C_{n}=(0,9 ; f(0,9))$. Observar los resultados.
e) Ver si los valores observados en el ítem b) coinciden con los del ítem d)
EJERCICIO 3.2

Teniendo en cuenta la función del ejercicio 1, hallar $f^{\prime}(1)$ utilizando la definición de derivada. Ver si coincide con lo que se observó de forma práctica en el punto anterior.

EJERCICIO 3.3

Hallar $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ mediante la definición de derivadas de las siguientes funciones:

a) $f(x)=x^{3} ; x_{0}=2$
b) $f(x)=\frac{1}{x} ; x_{0}=-2$
c) $f(x)=x^{3} ; x_{0}=4$
d) $f(x)=\ln (x) ; x_{0}=3$
EJERCICIO 3.4

Utilizando la definición, hallar las derivadas de las funciones anteriores en un $x_{0}$ genérico.

EJERCICIO 3.5

(Opcional) Utilizando la definición de derivada, deducir la tabla de derivadas que se encuentra en el apunte teórico.

EJERCICIO 3.6

Mediante la regla práctica hallar las derivadas de las funciones del ejercicio 3 y verificar los resultados.

EJERCICIO 3.7

Mediante la regla práctica y las propiedades, hallar las funciones derivadas de:

a) $f(x)=3 x^{4}-\sqrt[3]{x^{2}}+5 \cos (x)$
b) $f(x)=2 x^{5}-\frac{1}{x^{2}}+7 e^{x}$
c) $f(x)=5 x \ln (x)-\sqrt{x}$
d) $f(x)=\tan (x)$ (Sugerencia: usar que $\tan (x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$)
e) $f(x)=\frac{x^{2}+1}{3 x \cos (x)}+\cos (\pi)$
f) $f(x)=4 \ln (x)-e x+9 e-\frac{x^{3} \sin(x)}{\sqrt{x}}$
g) $f(x)=\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
h) $f(x)=\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
EJERCICIO 3.8

Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.

a) $f(x)=|x| ; x_{0}=0$
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}2 x+1 & \text { si } & x \leq 1 \\ x^{2}+2 & \text { si } & x>1\end{array} ; x_{0}=1\right.$
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x-2 & \text { si } & x<2 \\ x^{3}-6 & \text { si } & x \geq 2\end{array} ; x_{0}=2\right.$
d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}1 & \text { si } & x \leq 0 \\ x^{2}+1 & \text { si } & x>0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
e) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{3}+1 & \text { si } & x \leq 1 \\ 2 x & \text { si } & x>1\end{array} ; x_{0}=1\right.$
f) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} & \text { si } & x \leq 0 \\ \sqrt{x} & \text { si } & x>0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
EJERCICIO 3.9

Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones.

a) $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{1}{x} & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
b) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x \sin\left(\frac{1}{x}\right) & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} \cos\left(\frac{1}{x}\right) & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
d) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{\frac{1}{4}} \sin(x)}{x+2} & \text { si } & x>0 \\ 0 \quad \text { si } & x \leq 0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
EJERCICIO 3.10

Derivar, utilizando la regla de la cadena, las siguientes funciones:

a) $f(x)=(2+x)^{10}$
b) $f(x)=(2-x)^{10}$
c) $f(x)=\sin(5 x)$
d) $f(x)=\cos ^{2}(3 x+\pi)$
e) $f(x)=\cos (3 x+\pi)^{2}$
f) $f(x)=\sin^{3}(2 x-\pi / 2)^{7}$
g) $f(x)=e^{x^{2}-5 x}+2 x$
h) $f(x)=\ln \left(x^{3}-1\right)$
i) $f(x)=\ln ^{4}\left(x^{3}+2 x-1\right)$
j) $f(x)=\sqrt{x^{2}-3 x}$
k) $f(x)=3 e^{\sin(x)}$
l) $f(x)=4 e^{\sin^{2}(x)}$
m) $f(x) = \tan^2(x)$
n) $f(x)=\frac{\left(5 x^{3}-2 x\right)^{2}}{e^{x^{2}} + 1 }$
ñ) $f(x)=\sin(x / 2)-\frac{\cos ^{3}(4 x-7)}{\sqrt{5 x+1}}$
o) $f(x)=\ln ^{3}\left(\sin\left(\sqrt{x^{2}+8}\right)\right)$
p) $f(x)=\cos ^{7}\left(\ln ^{4}\left(\sqrt{3 x^{2}-1}\right)\right)$
q) $f(x)=e^{\cos ^{7}\left(\ln ^{4}\left(\sqrt{3 x^{2}-1}\right)\right)}$
r) $f(x)=2^{x^{3}-\ln (x)}$
s) $f(x)=\log _{5}\left(x^{2}-3\right)$
t) $f(x)=(3 x)^{5 x-2}$
u) $f(x)=\left(x^{2}-2 x+1\right)^{\sin(5 x-\pi)}$
v) $f(x)=\sqrt{\left(x^{3}-2 x\right)^{\left(x^{2}-3\right)}}$
w) $f(x)=\left(x^{5}-7 x\right)^{\sqrt{3 x+1}}$
x) $f(x)=\left(\frac{\sin x}{x^{2}+1}\right)^{\sqrt{5 x+1}}$

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