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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 1 - La recta real y las funciones elementales

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10. Encontrar una fórmula y su dominio para cada una de las siguientes funciones.
b) El área de un triángulo equilátero como función de la longitud de un lado.

Respuesta

Hacemos un esquemita del triángulo equilatero. Por definición, todos sus lados miden lo mismo (lo llamamos $x$) y los ángulos también son todos iguales, de $60°$. A la altura del triángulo la llamamos $h$ y por ahora es una incógnita.

2024-04-10%2008:52:06_8999990.png

El área de un triángulo está dada por $A = \frac{\text{base x altura}}{2} $

Es decir, en el contexto de nuestro problema, el área del triángulo sale de plantear:

$A = \frac{x \cdot h}{2} $

Ahora tenemos que poder escribir la altura $h$ en función de $x$. 

Para eso podemos usar un poco de trigonometría. Si partimos el triángulo equilatero en dos, nos podemos construir este triángulo rectángulo:

2024-04-10%2008:52:31_2630706.png

Si nos acordamos que $\tan = \frac{\text{opuesto}}{ \text{adyacente}}$

(Si, estoy usando SOHCAHTOA 😅)

entonces nos quedaría...

$\tan(60°) = \frac{h}{\frac{x}{2}}$

$\frac{\tan(60°)}{2} \cdot x = h $

Con la calculadora en grados, si haces la cuenta $\frac{\tan(60°)}{2}$, te va a dar un número con muuuchos decimales. Con un poco de práctica, especialmente después que veamos trigonométricas, lo vas a reconocer y vas a ver que es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (queda mucho más lindo escrito así jaja) Entonces $h$ resultó:

$h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x $

Perfecto, ya tenemos $h$ escrito en términos de $x$. Volvemos a nuestra fórmula del área y nos queda:

$A = \frac{x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2$

Y ahora, para determinar el dominio de la función, acordate que por cómo definimos el problema, $x$ necesariamente tiene que ser mayor que cero y después nada lo detiene, podría ser tan grande como quiera (ponele jaja). Entonces el dominio de nuestra función es $(0, +\infty)$
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Avatar Malena 14 de abril 23:48
por que el 2 unicamente divide la tangente cuando tambien deberia estar dividiendo la X? Si despejamos el x/2, el 2 pasa a dividir tanto a el tangente como a la X
Avatar Flor Profesor 15 de abril 08:52
@Malena
Hola Male! Atenti con esto. Tenemos esta ecuación:

$\tan(60°) = \frac{h}{ \frac{x}{2} } $

Paso ahora el $\frac{x}{2}$ multiplicando:

$\tan(60°) \cdot \frac{x}{2} = h $

Esto también lo podrías escribir así:

$ \frac{ \tan(60°) \cdot x }{ 2 } = h$

Y sería lo mismo también que escribirlo así:

$\frac{1 }{2 } \cdot \tan(60°) \cdot x $

Pero con ese $\frac{1}{2}$ ojo que no hacés distributiva! Es decir, está mal hacer esto:

$\frac{\tan(60°)}{2} \cdot \frac{x}{2} $ ❌

Para convencerte, fijate que en esta última expresión vos recuperarías $ \frac{ \tan(60°) \cdot x }{ 4 } $, que no es lo que tenías originalmente. 

Esto es de despeje de ecuaciones, pero porfa no tengas verguenza de decirme si no termina de quedar claro y lo seguimos viendo con otros ejemplos.
Avatar Malena 15 de abril 15:42
Hola Flor! Muchas gracias, ahí lo pude resolver :)
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