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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
4.
Decida cuáles de las siguientes sucesiones son monótonas crecientes, monótonas decrecientes y cuáles de ellas no tienen ninguna propiedad de monotonía.
VI) $f_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$
VI) $f_{n}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n}$
Respuesta
Como $\frac{2}{3}$ es menor a $1$, esta sucesión va a tender a cero en infinito y va a terminar siendo monótona decreciente. Para justificarlo un poco mejor, planteamos que $f_{n+1} \leq f_n$ y veamos cuándo se cumple esto:
$(\frac{2}{3})^{n+1} \leq (\frac{2}{3})^n$
$(\frac{2}{3})^n \cdot \frac{2}{3} \leq (\frac{2}{3})^n$
$ \frac{2}{3} \leq 1 $
Y esta relación se cumple siempre, así que para todo $n$ vale que $f_{n+1} \leq f_n$ y nuestra sucesión efectivamente es monótona decreciente.