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Análisis Matemático 66
2024
PALACIOS PUEBLA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
5.
Decida cuáles de las siguientes sucesiones tienen alguna propiedad de acotación:
IV) $d_{n}=3^{n}-\frac{1}{n}$
IV) $d_{n}=3^{n}-\frac{1}{n}$
Respuesta
Veamos un poquito esta sucesión. En primer lugar, seguro no está acotada superiormente y esto lo podemos probar fácilmente tomando límite cuando $n \rightarrow \infty$, esta sucesión tiende a $+\infty$ (si en este punto de la práctica todavía no viste límites, tranqui, este es un límite fácil y seguro en el parcial lo justificarías así).
Además, es una sucesión monótona creciente. Fijate que si planteas
$3^{n+1} - \frac{1}{n+1} \geq 3^n - \frac{1}{n} $ para todo $n$ natural.
(¿te das cuenta por qué?)
Entonces, tenemos una sucesión que está creciendo siempre y sin límites, por lo tanto, lo menor que va a valer esta sucesión es su primer término $a_1 = 3^1 - 1 = 2$. Así que si, efectivamente esta sucesión está acotada inferiormente y $a_n \geq 2 $ para todo $n$ natural.