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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 2 - Sucesiones y límites

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5. Decida cuáles de las siguientes sucesiones tienen alguna propiedad de acotación:
IV) dn=3n−1nd_{n}=3^{n}-\frac{1}{n}

Respuesta

Veamos un poquito esta sucesión. En primer lugar, seguro no está acotada superiormente y esto lo podemos probar fácilmente tomando límite cuando n→∞n \rightarrow \infty, esta sucesión tiende a +∞+\infty (si en este punto de la práctica todavía no viste límites, tranqui, este es un límite fácil y seguro en el parcial lo justificarías así). 

Además, es una sucesión monótona creciente. Fijate que si planteas 

3n+1−1n+1≥ 3n−1n3^{n+1} - \frac{1}{n+1} \geq 3^n - \frac{1}{n} para todo nn natural. 

(¿te das cuenta por qué?)

Entonces, tenemos una sucesión que está creciendo siempre y sin límites, por lo tanto, lo menor que va a valer esta sucesión es su primer término a1=31−1=2a_1 = 3^1 - 1 = 2. Así que si, efectivamente esta sucesión está acotada inferiormente y an≥2a_n \geq 2 para todo nn natural. 
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