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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 3 - Límites y continuidad

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2. Calcular los siguientes límites. En cada caso, analizar si la función correspondiente posee asíntotas horizontales.
a) lim⁡x→+∞−2x3+5x\lim _{x \rightarrow+\infty}-2 x^{3}+5 x

Respuesta

Cuando xx sea muuuuy grande, o sea, tienda a infinito (más o menos infinito, vale para ambos) el término con el exponente más alto es el que dominará el comportamiento de la función en el infinito.

En este caso, cuando x x tiende a +∞ +\infty , el término −2x3 -2x^3 crece mucho más rápido que el otro y por lo tanto será el término dominante. Entonces, si querés, imaginate que al tomar límite reemplazas ese +∞+\infty adentro del −2x3- 2x^3 nomás, te quedaría algo así −2(+∞)3=−∞-2(+\infty)^3 = -\infty (regla de signos!)
Por lo tanto: lim⁡x→+∞−2x3+5x=−∞\lim _{x \rightarrow+\infty}-2 x^{3}+5 x = -\infty

Ahora que ya te diste cuenta cómo verlo rápido, ¿cómo justifico esto formalmente en el parcial? Saco factor común "el que manda", o sea x3x^3

lim⁡x→+∞x3⋅(−2+5x2)\lim _{x \rightarrow+\infty} x^3 \cdot \left( -2 + \frac{5}{x^2} \right)

Y ahí tomás límite, fijate que 5x2\frac{5}{x^2} tiende a cero, entonces...

lim⁡x→+∞x3⋅(−2+5x2)=−∞\lim _{x \rightarrow+\infty} x^3 \cdot \left( -2 + \frac{5}{x^2} \right) = -\infty

Esta función no presenta asíntota horizontal (probá de calcular el límite en −∞-\infty y vas a ver que tampoco te da un número, ¿cuánto da?)
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