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Análisis Matemático 66
2024
PALACIOS PUEBLA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
2.
Calcular los siguientes límites. En cada caso, analizar si la función correspondiente posee asíntotas horizontales.
a) $\lim _{x \rightarrow+\infty}-2 x^{3}+5 x$
a) $\lim _{x \rightarrow+\infty}-2 x^{3}+5 x$
Respuesta
Cuando $x$ sea muuuuy grande, o sea, tienda a infinito (más o menos infinito, vale para ambos) el término con el exponente más alto es el que dominará el comportamiento de la función en el infinito.
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En este caso, cuando \( x \) tiende a \( +\infty \), el término \( -2x^3 \) crece mucho más rápido que el otro y por lo tanto será el término dominante. Entonces, si querés, imaginate que al tomar límite reemplazas ese $+\infty$ adentro del $- 2x^3$ nomás, te quedaría algo así $-2(+\infty)^3 = -\infty$ (regla de signos!)
Por lo tanto:
$\lim _{x \rightarrow+\infty}-2 x^{3}+5 x = -\infty$
Ahora que ya te diste cuenta cómo verlo rápido, ¿cómo justifico esto formalmente en el parcial? Saco factor común "el que manda", o sea $x^3$
$\lim _{x \rightarrow+\infty} x^3 \cdot \left( -2 + \frac{5}{x^2} \right) $
Y ahí tomás límite, fijate que $\frac{5}{x^2}$ tiende a cero, entonces...
$\lim _{x \rightarrow+\infty} x^3 \cdot \left( -2 + \frac{5}{x^2} \right) = -\infty$
Esta función no presenta asíntota horizontal (probá de calcular el límite en $-\infty$ y vas a ver que tampoco te da un número, ¿cuánto da?)