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Análisis Matemático 66
2024
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
2.
Calcular los siguientes límites. En cada caso, analizar si la función correspondiente posee asíntotas horizontales.
e) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{|x-2|+x}{5 x+1}$
e) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{|x-2|+x}{5 x+1}$
Respuesta
Lo primerísimo que hacemos acá es deshacernos de ese módulo. Cuando $x$ tiende a $+\infty$ lo de adentro del módulo es recontra positivo, así que $|x-2| = x-2$. Reemplazamos:
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$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x-2+x}{5 x+1} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2x-2}{5 x+1} $
Vos acá ya estás viendo esto, indeterminación "infinito sobre infinito", polinomios de igual grado... ya aprendimos en las clases que esto a ojo vos lo ves y sabés que tiende a $\frac{2}{5}$. Vamos a justificarlo sacando factor común "el que manda" en numerador y denominador:
$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2x-2}{5 x+1} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x(2 - \frac{2}{x})}{x(5 + \frac{1}{x})} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{2 - \frac{2}{x}}{5 + \frac{1}{x}} = \frac{2}{5}$
Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota horizontal en $y = \frac{2}{5}$ en $+\infty$