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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 3 - Límites y continuidad

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7. Calcular los siguientes límites:
c) lim⁡x→01−1−x23x2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{3 x^{2}}

Respuesta

Acá estamos de nuevo frente a una indeterminación "cero sobre cero" y tenemos que ver cómo hacemos para salvarla sin usar todavía L'Hopital. En el item anterior te mostré una forma (factorizar y rezar para se nos simplifique algo). Acá te voy a mostrar otra: Multiplicar y dividir por el conjugado.

lim⁡x→01−1−x23x2⋅1+1−x21+1−x2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\sqrt{1-x^2}}{3x^2} \cdot \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{1+\sqrt{1-x^2}}

lim⁡x→0(1−1−x2)(1+1−x2)3x2(1+1−x2) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{1-x^2})(1+\sqrt{1-x^2})}{3x^2(1+\sqrt{1-x^2})} lim⁡x→01−(1−x2)3x2(1+1−x2) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1 - (1 - x^2)}{3x^2(1+\sqrt{1-x^2})} lim⁡x→0x23x2(1+1−x2) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{3x^2(1+\sqrt{1-x^2})}

Simplificamos y tomamos límite:

lim⁡x→013(1+1−x2)= 16  \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{3(1+\sqrt{1-x^2})} = \frac{1}{6} 
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