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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
7.
Calcular los siguientes límites:
e) \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{|x-3|}{x^{3}-27}\)
e) \(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{|x-3|}{x^{3}-27}\)
Respuesta
¿Qué es lo primero que vamos a hacer? Deshacernos del móduloooo 🤪
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Acordate que $|x-3|$ vale $x-3$ si $x > 3$. En cambio, si $x<3$ vale $-(x-3)$. Es decir, nuestra expresión cambia según $x$ esté tendiendo a $3$ por derecha y por izquierda, tenemos que abrir el límite 😉
Por derecha
\( \lim _{x \rightarrow 3^+} \frac{x - 3}{x^3 - 27} \)
Sigue la indeterminación "cero sobre cero", tenemos que tratar de factorizar para que se nos simplifique algo. Fijate que lo del denominador lo podemos pensar como una diferencia de cubos:
\( \lim _{x \rightarrow 3^+} \frac{x - 3}{x^3 - 3^3} \)
Y acá vamos a usar que:
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
En nuestro caso, $a = x$ y $b = 3$, entonces nos quedaría:
\( \lim _{x \rightarrow 3^+} \frac{x - 3}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} \)
Y ahí se nos simplifican los $x-3$, genial:
\( \lim _{x \rightarrow 3^+} \frac{1}{x^2 + 3x + 9} = \frac{1}{27} \)
Por izquierda
El razonamiento es análogo, la única diferencia es que en el numerador ahora nos queda $-(x-3)$
\( \lim _{x \rightarrow 3^-} \frac{-(x-3)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = -\frac{1}{27} \)
Como los límites por derecha y por izquierda no coinciden, entonces concluimos que:
\(\lim _{x \rightarrow 3} \frac{|x-3|}{x^{3}-27} =\) No existe
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