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Análisis Matemático 66
2024
PALACIOS PUEBLA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
7.
Calcular los siguientes límites:
f) \(\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\)
f) \(\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\)
Respuesta
Acá nuevamente tenemos una indeterminación de tipo "cero sobre cero", pero ojo acá, porque tenemos involucrada una raíz cúbica! Si multiplicamos y dividimos por el conjugado no se nos va a cancelar la raíz con el cuadrado y no vamos a poder encaminar el ejercicio.
Reportar problema
Eso hace que este problema sea bastante más difícil que los otros, y con L'Hopital saldría enseguida jaja pero te voy a mostrar cómo se me ocurre resolverlo sin usarlo.
\(\lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]{x}-2}{x-8}\)
Acá vamos a usar que:
\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
Si llamamos:
\( a = \sqrt[3]{x} \)
\( b = 2 \)
Entonces, podemos escribir el denominador como \( x - 8 = a^3 - b^3 \)
Y el numerador es simplemente \( a - b \)
Entonces nos quedaría:
\( \lim _{x \rightarrow 8} \frac{a - b}{a^3 - b^3} = \lim _{x \rightarrow 8} \frac{a - b}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}\)
Simplificamos:
\(\lim _{x \rightarrow 8} \frac{1}{a^2 + ab + b^2}\)
Reemplazamos \(a\) y \(b\), y tomamos límite:
\(\lim _{x \rightarrow 8} \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2 + \sqrt[3]{x} \cdot 2 + 2^2} = \frac{1}{12} \)
(Por favor no desesperen, este problema en particular fue bastante más difícil que los otros y no espero que haya resultado obvio enseguida el procedimiento 🥺 Si a alguien se le ocurre una manera más fácil de pensarlo, más que bienvenida la resolución en la ExaComunidad!)