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Análisis Matemático 66

2025 PALACIOS PUEBLA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 4 - Funciones elementales II

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3. [Claudio, el trigonómetra] Un fin de semana largo, Claudio, el trigonómetra, decide hacer un viaje al campo para tomar aire fresco.
b) Luego de un rato de manejar, para a estirar las piernas cerca de un río. Observa un árbol en la orilla opuesta, mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 43∘43^{\circ}; retrocede 10 m y mide un nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 35∘35^{\circ}. Sin dudarlo, Claudio calcula la altura del árbol. ¿Qué altura tiene el árbol?

Respuesta

De nuevo, clave en este tipo de ejercicios hacernos un esquema de lo que está pasando. Este es que hice yo recién. Además fijate que llamé hh a la altura del árbol y xx a la distancia entre Claudio y el árbol cuando hizo la primera medición. 

2024-04-22%2009:28:17_1305837.png

Ahora quiero que mires con atención este esquema y veas que nos quedaron delimitados dos triángulos rectángulos. 

✅ Primera medición: Tenemos un triángulo rectángulo donde tenemos el ángulo de 43°43° y el lado adyacente es xx y el opuesto es hh. Por lo tanto, 

tan⁡(43∘)=hx \tan(43^\circ) = \frac{h}{x}

✅ Segunda medición: Tenemos un triángulo rectángulo donde tenemos el ángulo de 35°35° y el lado adyacente es 10+x10 + x y el opuesto es hh. Por lo tanto, 

tan⁡(35∘)=hx+10 \tan(35^\circ) = \frac{h}{x + 10}

¿Y qué tenemos acá? Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, hh y xx. Hay varias maneras de resolverlo, una que podemos usar es, despejar hh de ambas...

h=xtan⁡(43∘) h = x \tan(43^\circ)
h=(x+10)tan⁡(35∘) h = (x + 10) \tan(35^\circ)

y ahora las podemos igualar!

xtan⁡(43∘)=(x+10)tan⁡(35∘) x \tan(43^\circ) = (x + 10) \tan(35^\circ)

y acá la única incógnita es xx, despejamos...

xtan⁡(43∘)=xtan⁡(35∘)+10tan⁡(35∘) x \tan(43^\circ) = x \tan(35^\circ) + 10 \tan(35^\circ)
x(tan⁡(43∘)−tan⁡(35∘))=10tan⁡(35∘) x (\tan(43^\circ) - \tan(35^\circ)) = 10 \tan(35^\circ)
x=10tan⁡(35∘)tan⁡(43∘)−tan⁡(35∘) x = \frac{10 \tan(35^\circ)}{\tan(43^\circ) - \tan(35^\circ)}

Haciendo la cuenta en la calculadora, obtenemos que... 

x≈30.14x \approx 30.14 metros. 

Y ahora volvemos a cualquiera de las ecuaciones, reemplazamos y obtenemos la altura del árbol 🌳

h=xtan⁡(43∘) h = x \tan(43^\circ)

h= 10tan⁡(35∘)tan⁡(43∘)−tan⁡(35∘)⋅ tan⁡(43∘) h = \frac{10 \tan(35^\circ)}{\tan(43^\circ) - \tan(35^\circ)} \cdot \tan(43^\circ) 

Y haciendo la cuenta en la calculadora nos da...

h≈28.11h \approx 28.11 metros.
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