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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
7.
Utilizando las propiedades de simetría y periodicidad, resuelva exactamente las siguientes ecuaciones en los dominios indicados:
d) $\operatorname{sen}(2 x+\pi)=1, x \in[\pi, 4 \pi]$
d) $\operatorname{sen}(2 x+\pi)=1, x \in[\pi, 4 \pi]$
Respuesta
Esta ecuación la vamos a resolver con razonamientos similares a los que usamos en el item b) de este Ejercicio.
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Primero pensamos en la circunferencia unitaria entre $0$ y $2\pi$, y nos preguntamos para qué ángulos $\sin(x) = 1$. Eso ocurría en $x = \frac{\pi}{2}$. Ahora incluimos todas las soluciones agregándole $+2k\pi$.
Por lo tanto, todas las soluciones a la ecuación $\sin(x) = 1$ son los $x$ de la forma $x = \frac{\pi}{2} +2k\pi$.
Pero atenti, nuestra ecuación era $\sin(2x + \pi) = 1$. Entonces tenemos que igualar $2x + \pi$ a las soluciones que obtuvimos recién:
$2x + \pi = \frac{\pi}{2} +2k\pi$
$2x = \frac{\pi}{2} +2k\pi - \pi$
$x = \frac{\pi}{4} +k\pi - \frac{\pi}{2}$
$x = -\frac{\pi}{4} +k\pi $
Y estas serían toooodas las soluciones de la ecuación del enunciado, pero nosotros queremos únicamente las que están en el intervalo $[\pi, 4 \pi]$. Probamos con distintos valores de $k$:
- Para $k = 1$, $x = \frac{3\pi}{4}$, que no está en el intervalo, así que no es solución.
- Para $k = 2$, $x = \frac{7\pi}{4}$, que si ya está en el intervalo, esta es nuestra primera solución.
- Para $k = 3$, $x = \frac{11\pi}{4}$, que sigue estando en el intervalo.
- Para $k = 4$, $x = \frac{15\pi}{4}$, que sigue estando en el intervalo.
Y con $k=5$ ya nos pasamos del intervalo y no tenemos más soluciones.
Por lo tanto, las soluciones a nuestra ecuación son
$x = \frac{7\pi}{4}$, $x = \frac{11\pi}{4}$ y $x = \frac{15\pi}{4}$.