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Análisis Matemático 66

2025 PALACIOS PUEBLA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 4 - Funciones elementales II

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7. Utilizando las propiedades de simetría y periodicidad, resuelva exactamente las siguientes ecuaciones en los dominios indicados:
d) sen⁡(2x+π)=1,x∈[π,4π]\operatorname{sen}(2 x+\pi)=1, x \in[\pi, 4 \pi]

Respuesta

Esta ecuación la vamos a resolver con razonamientos similares a los que usamos en el item b) de este Ejercicio.

Primero pensamos en la circunferencia unitaria entre 00 y 2π2\pi, y nos preguntamos para qué ángulos sin⁡(x)=1\sin(x) = 1. Eso ocurría en x=π2x = \frac{\pi}{2}. Ahora incluimos todas las soluciones agregándole +2kπ+2k\pi. 

Por lo tanto, todas las soluciones a la ecuación sin⁡(x)=1\sin(x) = 1 son los xx de la forma x= π2 +2kπx = \frac{\pi}{2} +2k\pi. 

Pero atenti, nuestra ecuación era sin⁡(2x+π)=1\sin(2x + \pi) = 1. Entonces tenemos que igualar 2x+π2x + \pi a las soluciones que obtuvimos recién:

2x+π= π2 +2kπ2x + \pi = \frac{\pi}{2} +2k\pi

2x= π2 +2kπ−π2x = \frac{\pi}{2} +2k\pi - \pi

x= π4 +kπ−π2x = \frac{\pi}{4} +k\pi - \frac{\pi}{2}

x=−π4+kπx = -\frac{\pi}{4} +k\pi

Y estas serían toooodas las soluciones de la ecuación del enunciado, pero nosotros queremos únicamente las que están en el intervalo [π,4π][\pi, 4 \pi]. Probamos con distintos valores de kk:

- Para k=1k = 1, x=3π4x = \frac{3\pi}{4}, que no está en el intervalo, así que no es solución.
- Para k=2k = 2, x=7π4x = \frac{7\pi}{4}, que si ya está en el intervalo, esta es nuestra primera solución. 
- Para k=3k = 3, x=11π4x = \frac{11\pi}{4}, que sigue estando en el intervalo. 

- Para k=4k = 4, x=15π4x = \frac{15\pi}{4}, que sigue estando en el intervalo. 

Y con k=5k=5 ya nos pasamos del intervalo y no tenemos más soluciones.

Por lo tanto, las soluciones a nuestra ecuación son 

x=7π4x = \frac{7\pi}{4}, x=11π4x = \frac{11\pi}{4} y x=15π4x = \frac{15\pi}{4}.
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