Volver a Guía
Ir al curso
Reportar problema
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
PALACIOS PUEBLA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
7.
Utilizando las propiedades de simetría y periodicidad, resuelva exactamente las siguientes ecuaciones en los dominios indicados:
f) $\cos ^{2}(x)=\operatorname{sen}^{2}(x), x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
f) $\cos ^{2}(x)=\operatorname{sen}^{2}(x), x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
Respuesta
Nosotros queremos resolver:
$\cos^{2}(x)=\sin^{2}(x)$
Si aplicamos raíz cuadrada a ambos miembros nos queda:
$|\cos(x)| = |\sin(x)|$
(no te olvides los módulos!)
¿Dónde el seno y el coseno valen lo mismo en módulo? Acordate que en el primer cuadrante valen lo mismo en $x= \frac{\pi}{4}$, así que, en módulo, van a valer lo mismo en todos los ángulos equivalentes a $x= \frac{\pi}{4}$ del segundo, tercer y cuarto cuadrante.
Aclaración: Si acá ya pensás en el intervalo que te dan en el enunciado el ejercicio sale mucho más rápido, pero quiero aprovechar para resolverlo de manera general para seguir practicando. Si en el parcial te llega a tocar una ecuación parecida pero en un intervalo más amplio me lo vas a agradecer jaja
Si pensamos primero en la circunferencia unitaria entre $0$ y $2\pi$, eso sería entonces en:
✅ Primer cuadrante: $x= \frac{\pi}{4}$
✅ Segundo cuadrante: $x= \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$
✅ Tercer cuadrante: $x= \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$
✅ Cuarto cuadrante: $x= 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$
Para obtener todas las soluciones le podría agregar directamente $+2k\pi$ a todas y listo. Pero fijate que: $\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$, y lo mismo, $\frac{3\pi}{4} + \pi = \frac{7\pi}{4}$. Así que en realidad esto es redundante, porque hay soluciones que me están apareciendo dos veces. Entonces directamente podría escribir:
$x= \frac{\pi}{4} + k\pi$ y $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$
(cuando estés haciendo esto, dibujate la circunferencia en tu hoja, marcá las soluciones y vas a ver que esto tiene sentido)
Bueno, pero como siempre, estas son toooodas las soluciones, pero nosotros sólo queremos las del intervalo $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
Para $x= \frac{\pi}{4} + k\pi$, con $k=0$ obtenemos $x= \frac{\pi}{4}$ que cae en el intervalo
Para $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$, con $k=-1$ obtenemos $x= -\frac{\pi}{4}$ que también cae en el intervalo.
Por lo tanto, las soluciones que estábamos buscando son $x= \frac{\pi}{4}$ y $x= -\frac{\pi}{4}$
Algo más: No quiero que dejes de graficar en tu hoja la circunferencia, te marques el intervalo $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ y te des cuenta que esto tiene sentido. Y repito, una vez que ya venís cancherx con trigonométricas y estás entendiendo bien qué pasa en la circunferencia, si pensabas en el intervalo que nos daban, este resultado lo podías ver enseguida.