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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 4 - Funciones elementales II

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8. Considere la función f(x)=2cos⁡(2x+π)−3f(x)=2 \cos (2 x+\pi)-\sqrt{3}.
b) Elija un intervalo de longitud igual al período de la función y encuentre analíticamente los valores de xx en este intervalo para los cuales la función tiene una raíz, cuando es positiva, cuando es negativa, cuando crece y cuando decrece. Indique cuales son los valores máximos y mínimos de cada función y halle los puntos en los cuales se alcanzan.

Respuesta

En el item anterior vimos que el período de ff es π\pi. Así que podemos elegir el intervalo [0,π][0,\pi] 

Raíces

Vamos a arrancar buscando las raíces de ff en este intervalo igualando la función a cero:

2cos⁡(2x+π)−3=02 \cos (2 x+\pi)-\sqrt{3} = 0

Despejamos para reacomodar un poco:

2cos⁡(2x+π)=32\cos (2 x+\pi) = \sqrt{3}

cos⁡(2x+π)=32\cos (2 x+\pi) = \frac{\sqrt{3}}{2}

¿Ahora entendés cuál era mi objetivo y por qué empecé a despejar? Porque fijate que así nos quedó una ecuación muy parecida a las que estuvimos resolviendo en la tercer clase de Funciones Trigonométricas y acá en la guía en el Ejercicio 77. 

Lo primero que me pregunto es... ¿Dónde el coseno vale 32\frac{\sqrt{3}}{2}? Bueno, en el primer cuadrante eso era en π6\frac{\pi}{6}, pero también hay otro ángulo, en el cuarto cuadrante, donde el coseno vale 32\frac{\sqrt{3}}{2} y es 11π6\frac{11\pi}{6}. Por lo tanto, tooooodos los ángulos para los cuales se cumple que cos⁡(x)= 32\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} son π6+2kπ\frac{\pi}{6} + 2k\pi y 11π6+2kπ\frac{11\pi}{6} + 2k\pi. 

Es decir, vamos a tener que igualar 2x+π2x+\pi a estas soluciones. 

Primer grupo de soluciones

2x+π= π6+2kπ2x + \pi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi

2x= π6+2kπ−π2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi - \pi

x= π12+kπ−π2x = \frac{\pi}{12} + k\pi - \frac{\pi}{2}

x=−5π12+kπx = -\frac{5\pi}{12} + k\pi

De acá la única solución que pertenece a nuestro intervalo sale con k=1k = 1 y es x=712πx = \frac{7}{12} \pi

Segundo grupo de soluciones

2x+π= 11π6+2kπ2x + \pi = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi

2x= 11π6+2kπ−π2x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi - \pi

x= 11π12+kπ−π2x = \frac{11\pi}{12} + k\pi - \frac{\pi}{2}

x=5π12+kπx = \frac{5\pi}{12} + k\pi

Y de acá la única solución que pertenece a nuestro intervalo es la que tenemos con k=0k=0 y es x=512πx = \frac{5}{12} \pi

Ahora, no te me olvides que tenés GeoGebra en la otra pestaña, podés verificar esta respuesta! Agregá otra entrada en el mismo gráfico y escribí los puntos (512π,0)(\frac{5}{12} \pi, 0) y (712π,0)(\frac{7}{12} \pi, 0) ¿son las raíces o no?

Conjuntos de positividad y negatividad

Lo más difícil ya está, ahora ya sabemos dónde ff tiene raíces y además sabemos que es continua. Bolzano nos asegura que en los intervalos donde ff es continua y no tiene raíces, mantiene el mismo signo. Nos armamos nuestra tablita y evaluamos ff en algún punto cualquiera de cada intervalo:

2024-04-22%2012:57:42_9687662.png

Entonces,

Conjunto de positividad: (512π, 712π)(\frac{5}{12} \pi, \frac{7}{12} \pi)

Conjunto de negatividad: (0, 512π)∪(712π,π)(0, \frac{5}{12} \pi) \cup (\frac{7}{12} \pi, \pi)

Volvé a la pestaña donde tenés abierto GeoGebra ¿coincide con lo que estás viendo en el gráfico?

Máximos y mínimos

A ver si me seguís en esta. Nosotros sabemos que cos⁡(2x+π)\cos(2x + \pi) oscila entre 11 y −1-1. Lo podría escribir así:

−1≤ cos⁡(2x+π)≤1-1 \leq \cos(2x + \pi) \leq 1

Ahora, multiplico todos los miembros por 22

−2≤2cos⁡(2x+π)≤2-2 \leq 2\cos(2x + \pi) \leq 2

Y ahora en todos los miembros restamos 3\sqrt{3}

−2− 3 ≤2cos⁡(2x+π)−3 ≤2− 3-2 - \sqrt{3} \leq 2\cos(2x + \pi) - \sqrt{3} \leq 2 - \sqrt{3}

Y mirá lo que me quedó en el medio, es f(x)f(x)! Es decir,

−2− 3 ≤f(x) ≤2− 3-2 - \sqrt{3} \leq f(x) \leq 2 - \sqrt{3}

El máximo valor que toma ff es 2− 32 - \sqrt{3} y el mínimo valor −2− 3-2 - \sqrt{3}. Estas van a ser las coordenadas en yy de los máximos y mínimos de ff. Ahora nos falta para qué valores en xx se alcanzan. 

Freno un segundo... Ahora ya podemos volver al punto a) y escribir la imagen un poco más linda no? 

Máximos

Buscamos los xx que verifican que:

f(x)= 2− 3f(x) = 2 - \sqrt{3}

2cos⁡(2x+π)−3 = 2− 32\cos(2x + \pi) - \sqrt{3}  = 2 - \sqrt{3}

cos⁡(2x+π)=1\cos(2x + \pi) = 1

Y ahora resolvemos esta ecuación igual que como venimos haciendo en todas las que nos fuimos cruzando hasta ahora. Voy a ir un poquito más rápido porque ya resolvimos varias. Sabemos que cos⁡(x)\cos(x) vale 11 en todos los xx de la forma x=0+2kπx = 0 + 2k\pi. Entonces tenemos que pedir que...

2x+π=0+2kπ 2x + \pi = 0 + 2k\pi

y despejando xx nos queda...

x=−π2+kπx = -\frac{\pi}{2} + k\pi

Y la única solución dentro del intervalo [0,π][0,\pi] se da con k=1k=1 y es x=π2x = \frac{\pi}{2}

Por lo tanto, ff alcanza un máximo en el punto (π2, 2− 3)(\frac{\pi}{2}, 2 - \sqrt{3}). 

Graficá ahora este punto en GeoGebra... ¿es o no es el máximo de ff en ese intervalo?

Mínimos

Ahora buscamos los xx que verifican que:

f(x)=−2− 3f(x) = -2 - \sqrt{3}

2cos⁡(2x+π)−3 =−2− 32\cos(2x + \pi) - \sqrt{3}  = -2 - \sqrt{3}

cos⁡(2x+π)=−1\cos(2x + \pi) = -1

¿Te animás a resolverla vos, igual que como hicimos recién? 

Deberías llegar a que x=0x = 0 y x=πx = \pi son las soluciones en el intervalo. Como siempre, les abro la posibilidad a que dejen las fotos de sus hojas acá abajo en la ExaComunidad así vemos como lo hicieron y corregimos lo que sea necesario 😊

Entonces, los puntos mínimos de ff en el intervalo [0,π][0,\pi] son (0,−2−3)(0, -2-\sqrt{3}) y en (π,−2−3)(\pi, -2-\sqrt{3})

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Conociendo dónde ff alcanza sus máximos y mínimos en el intervalo [0,π][0,\pi], tenemos que:

Intervalo de crecimiento: (0,π2)(0, \frac{\pi}{2})

Intervalo de decrecimiento: (π2,π)(\frac{\pi}{2}, \pi)

Si te hiciste lío usando GeoGebra, o no te diste cuenta cómo graficar algunas cosas, te dejo acá el link con mi gráfico final, con f(x)f(x) y todos los resultados a los que fuimos llegando 👉 https://www.geogebra.org/graphing/rreggeqz

Fijate como en la columna de la izquierda grafiqué f(x)f(x), las raíces, los máximos y mínimos. Y para chequear la imagen te puede servir agregar los gráficos de las rectas y=−2−3y = -2 -\sqrt{3} y y=2−3y = 2 - \sqrt{3}
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