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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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3.
a) Derivar las siguientes funciones utilizando las reglas de la suma y el producto por escalares:
1) f(x)=cos⁡(x)+sen⁡(x)f(x)=\cos (x)+\operatorname{sen}(x)
2) f(x)=5ln⁡(x)f(x)=5 \ln (x)
3) f(x)=3x5−7x3+2f(x)=3 x^{5}-7 x^{3}+2
4) f(x)=3x−4x2+xf(x)=\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}}+\sqrt{x}

Respuesta

1) f(x)=cos⁡(x)+sen⁡(x)f(x)=\cos (x)+\operatorname{sen}(x)

Derivamos cada término por tabla y nos queda:

f′(x)=−sin⁡(x)+cos⁡(x)f'(x) = -\sin(x) + \cos(x)

2) f(x)=5ln⁡(x)f(x)=5 \ln (x)

El 55 es simplemente una constante multiplicando, así que la arrastramos multiplicando. Derivamos ln⁡(x)\ln(x) por tabla:

f′(x)=5⋅1x=5xf'(x) = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}

3) f(x)=3x5−7x3+2f(x)=3 x^{5}-7 x^{3}+2

Acá usamos las reglas de derivación para polinomios:

f′(x)=3⋅5x5−1−7⋅3x3−1+0f'(x) = 3 \cdot 5x^{5-1} - 7 \cdot 3x^{3-1} + 0
f′(x)=15x4−21x2f'(x) = 15x^4 - 21x^2

4) f(x)=3x−4x2+xf(x)=\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}}+\sqrt{x}

Acá primero podemos reescribir ff usando propiedades de potencias:

f(x)=3⋅x−1−4⋅x−2+x1/2f(x) = 3 \cdot x^{-1} - 4 \cdot x^{-2} + x^{1/2}

y ahora si derivamos con las reglas que vimos en la tabla :)

f′(x)=3⋅(−1)⋅x−2−4⋅(−2)⋅x−3+12x−1/2f'(x) = 3 \cdot (-1) \cdot x^{-2} - 4 \cdot (-2) \cdot x^{-3} + \frac{1}{2} x^{-1/2}

Reacomodamos un poco:

f′(x)=−3x2+8x3+12xf'(x) = -\frac{3}{x^2} + \frac{8}{x^3} + \frac{1}{2\sqrt{x}}
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Lucia
24 de mayo 16:21
hola profe. me explicarias mejor el ultimo punto, entiendo que derivaste pero no me quedo muy claro en general
0 Responder
Flor
PROFE
24 de mayo 21:46
@Lucia Hola Lucia! Ahi lo primero que hicimos, antes de derivar, fue reescribir ff usando reglas de potencias... Eso lo podés repasar en la clase que está en Ejercicios preliminares -> Repaso de matemática -> Reglas de potencias. Y una vez que lo tenés escrito así, ya podés derivar por tabla con las reglas para polinomios... o sea, bajas el exponente y después le restas 11 en el exponente... Fijate si ahora queda un poco más claro lo que hicimos, sino porfa avisame y decime que parte te sigue generando duda y lo vemos!
0 Responder
Jerry
21 de mayo 23:16
Profesora, podría explicarme cómo derivar raíz de x, no me quedo muy claro
0 Responder
Flor
PROFE
21 de mayo 23:23
@Jerry Hola Jerry! Fijate que en la primera clase de derivadas (que la encontrás en Aproximación lineal y derivadas -> Introducción a derivadas -> Concepto de derivadas. Tabla y propiedades), en el minuto 8:30 arranco a explicar cómo derivar x\sqrt{x}. Ahí fui lo más despacio posible para que se entienda, pero avisame porfa si con eso queda claro y sino lo seguimos charlando! 
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