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La función que nos dan es
$ f(x) = x\sqrt{3x + 1} $
y necesitamos encontrar la recta tangente en \( x_0 = 1 \).
Sabemos que la ecuación de la recta tangente a \( f \) en \( x = x_0 \) es de la forma:
$ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $
Perfecto, en este caso nuestro \( x_0 \) es \( x_0 = 1 \), así que la recta tangente que estamos buscando es:
$ y = f'(1)(x - 1) + f(1) $
Para encontrar \( f'(1) \), primero calculamos la derivada de \( f(x) \). Arrancamos con regla del producto:
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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5.
Utilizando las reglas de derivación y la tabla de derivadas elementales calcule la recta tangente para las siguientes funciones en el punto indicado:
a) $f(x)=x \sqrt{3 x+1}$ en el punto $(1, f(1))$.
a) $f(x)=x \sqrt{3 x+1}$ en el punto $(1, f(1))$.
Respuesta
Aclaración: Antes de encarar este ejercicio es clave que hayas visto la clase de Recta Tangente :)
$ f'(x) = 1 \cdot \sqrt{3x + 1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot 3 $
$ f'(x) = \sqrt{3x + 1} + \frac{3x}{2\sqrt{3x + 1}} $
Ahora evaluamos \( f'(x) \) en \( x_0 = 1 \):
$ f'(1) = \sqrt{3 + 1} + \frac{3}{2\sqrt{3 + 1}} = \frac{11}{4}$
Nos falta evaluar \( f(x) \) en \( x_0 = 1 \) para obtener \( f(1) \):
$ f(1) = 1 \cdot \sqrt{3 + 1} = 2$
¡Listo! Sustituimos \( f'(1) \) y \( f(1) \) en la ecuación de la recta tangente:
$ y = \frac{11}{4}(x - 1) + 2 $
Esta es la ecuación de la recta tangente al gráfico de \( f(x) \) en \( x_0 = 1 \)