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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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5. Utilizando las reglas de derivación y la tabla de derivadas elementales calcule la recta tangente para las siguientes funciones en el punto indicado:
b) f(x)=2x+1x+2f(x)=\frac{2 x+1}{x+2} en el punto (2,f(2))(2, f(2)).

Respuesta

La función que tenemos es: f(x)=2x+1x+2 f(x) = \frac{2x + 1}{x + 2} y queremos encontrar la recta tangente en x0=2 x_0 = 2 . Recordemos que la ecuación de la recta tangente a f f en x=x0 x = x_0 está dada por: y=f′(x0)(x−x0)+f(x0) y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)
Perfecto, nuestro x0 x_0 es x0=2 x_0 = 2 , por lo que la recta tangente que buscamos es: y=f′(2)(x−2)+f(2) y = f'(2)(x - 2) + f(2) Primero, necesitamos calcular la derivada de f(x) f(x) . Arrancamos con regla del cociente: f′(x)=2(x+2)−(2x+1)(x+2)2 f'(x) = \frac{2(x + 2) - (2x + 1)}{(x + 2)^2}
f′(x)=2x+4−2x−1(x+2)2 f'(x) = \frac{2x + 4 - 2x - 1}{(x + 2)^2}
f′(x)=3(x+2)2 f'(x) = \frac{3}{(x + 2)^2} Evaluamos f′(x) f'(x) en x0=2 x_0 = 2 : f′(2)=316 f'(2) = \frac{3}{16} Ahora evaluamos f(x) f(x) en x0=2 x_0 = 2 para obtener f(2) f(2) : f(2)=54  f(2) = \frac{5}{4} 
¡Ya casi estamos! Sustituimos f′(2) f'(2) y f(2) f(2) en nuestra ecuación de la recta tangente: y=316(x−2)+54 y = \frac{3}{16}(x - 2) + \frac{5}{4} Y esa es la ecuación de la recta tangente al gráfico de f(x) f(x) en x0=2 x_0 = 2  

Consejo: Andá graficando en GeoGebra a la función y a su recta tangente, y convencete que los resultados a los que estamos llegando están bien. 
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