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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
5.
Utilizando las reglas de derivación y la tabla de derivadas elementales calcule la recta tangente para las siguientes funciones en el punto indicado:
b) $f(x)=\frac{2 x+1}{x+2}$ en el punto $(2, f(2))$.
b) $f(x)=\frac{2 x+1}{x+2}$ en el punto $(2, f(2))$.
Respuesta
La función que tenemos es:
$ f(x) = \frac{2x + 1}{x + 2} $
y queremos encontrar la recta tangente en \( x_0 = 2 \).
Recordemos que la ecuación de la recta tangente a \( f \) en \( x = x_0 \) está dada por:
$ y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $
Reportar problema
Perfecto, nuestro \( x_0 \) es \( x_0 = 2 \), por lo que la recta tangente que buscamos es:
$ y = f'(2)(x - 2) + f(2) $
Primero, necesitamos calcular la derivada de \( f(x) \). Arrancamos con regla del cociente:
$ f'(x) = \frac{2(x + 2) - (2x + 1)}{(x + 2)^2} $
$ f'(x) = \frac{2x + 4 - 2x - 1}{(x + 2)^2} $
$ f'(x) = \frac{3}{(x + 2)^2} $
Evaluamos \( f'(x) \) en \( x_0 = 2 \):
$ f'(2) = \frac{3}{16} $
Ahora evaluamos \( f(x) \) en \( x_0 = 2 \) para obtener \( f(2) \):
$ f(2) = \frac{5}{4} $
¡Ya casi estamos! Sustituimos \( f'(2) \) y \( f(2) \) en nuestra ecuación de la recta tangente:
$ y = \frac{3}{16}(x - 2) + \frac{5}{4} $
Y esa es la ecuación de la recta tangente al gráfico de \( f(x) \) en \( x_0 = 2 \)
Consejo: Andá graficando en GeoGebra a la función y a su recta tangente, y convencete que los resultados a los que estamos llegando están bien.