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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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6. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una pared vertical. Sea θ\theta el ángulo entre la parte superior de la escalera y la pared, y xx la distancia del extremo inferior de aquélla hasta la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapidez cambia x\mathrm{x} respecto a θ\theta cuando θ=π3\theta=\frac{\pi}{3} ?

Respuesta

Vamos a arrancar con un esquema:

2024-05-04%2013:16:19_6882014.png

Lo primero que tenemos que ver acá es que se nos formó un triángulo rectángulo y podemos escribir xx en función de θ\theta de esta manera:

sin⁡(θ)=opuestohipotenusa=x10 \sin(\theta) = \frac{opuesto}{hipotenusa} = \frac{x}{10}

Despejando nos queda:

x=10sin⁡(θ)x = 10 \sin(\theta)

Para encontrar cómo cambia x x con respecto a θ \theta , lo que tenemos que hacer es calcular la derivada de xx respecto a θ\theta (dxdθ\frac{dx}{d\theta}), es decir:
dxdθ=10cos⁡(θ) \frac{dx}{d\theta} = 10 \cos(\theta)

Quizás esto no termine de cerrar en este punto de la guía, pero te lo menciono para pensar: Vos mirando el esquema e imaginando la situación, seguramente te das cuenta que si θ\theta aumenta, entonces xx también (pensá en la escalera deslizándose). Entonces, ¿tiene sentido que la derivada nos haya dado positiva?

Ahora evaluamos la derivada en θ=π3\theta=\frac{\pi}{3}

dxdθ(π3)=10cos⁡(π3)=5 \frac{dx}{d\theta} (\frac{\pi}{3}) = 10 \cos(\frac{\pi}{3}) = 5

Entonces, la tasa de cambio de x x con respecto a θ \theta cuando θ=π3 \theta = \frac{\pi}{3} es de 5 pies por radián. Esto significa que cuando θ \theta crece, la distancia x x aumenta a una tasa de 5 pies por cada radian que θ \theta cambia.
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