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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 6 - Teoremas del cálculo diferencial y aplicaciones

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1. Considere la función coseno hiperbólico cosh⁡(x)=ex+e−x2\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} definida sobre todo R\mathbb{R}.
a) Muestre que cosh⁡(x)\cosh (x) verifica las hipótesis del teorema de Rolle en todo intervalo de la forma [−a,a][-a, a] con a>0a>0.

Respuesta

El Teorema de Rolle nos dice que si tenemos una función f(x)f(x) que es continua en un intervalo cerrado [a,b][a,b] y derivable en el abierto (a,b)(a,b), y además f(a)=f(b)f(a) = f(b), entonces el Teorema nos asegura que existe al menos un punto c∈(a,b)c \in (a,b) tal que f′(c)=0f'(c) = 0

En este caso nuestra función es cosh⁡(x)=ex+e−x2\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} y tenemos que verificar que cumple las hipótesis del Teorema en el intervalo [−a,a][-a, a] con a>0a>0. Vayamos punto por punto para ver si cumple:

Hipótesis 1: Continuidad de cosh⁡(x)\cosh(x)
Fijate que la función cosh⁡(x)\cosh(x) se define como ex+e−x2\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, y ahí tenemos simplemente dos exponenciales sumándose, no tenemos ninguna restricción que nos haga suponer que nuestra función sea discontinua en algún punto. Por lo tanto,  cosh⁡(x)\cosh(x) es continua en R\mathbb{R} y, en particular, lo es en el intervalo cerrado [−a,a][-a, a].

Hipótesis 2: Derivabilidad de cosh⁡(x)\cosh(x)
Calculemos la derivada de cosh⁡(x)\cosh(x) y comprobemos que es una función continua en (−a,a)(-a, a). 
(cosh⁡(x))′=12(ex−e−x)=sinh⁡(x) (\cosh(x))' = \frac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}\right) = \sinh(x)

Aclaro por las dudas: Si te perdiste con esta derivada, fijate que a cosh⁡(x)\cosh(x) lo podes escribir así: cosh⁡(x)=12(ex+e−x)\cosh (x)=\frac{1}{2} (e^{x}+e^{-x}) y ahí derivás ;)
 
Esto que acabamos de obtener es como se define el seno hiperbólico de xx, sinh⁡(x)\sinh(x). Y fijate que esta función que obtuvimos está definida para todo R\mathbb{R}, no hay ningún xx en el cual esta función (que es la derivada de cosh⁡(x)\cosh(x)) no esté definida, lo que significa que cosh⁡(x)\cosh(x) es derivable en todo R\mathbb{R}, en particular lo será en cualquier intervalo de la forma (−a,a)(-a, a).

Hipótesis 3: Valores iguales en los extremos del intervalo

Calculemos cosh⁡(−a)\cosh(-a) y cosh⁡(a)\cosh(a) y veamos que siempre son iguales:
Finalmente, debemos verificar que los valores de cosh⁡(x)\cosh(x) en los extremos del intervalo son iguales: cosh⁡(−a)=e−a+ea2 \cosh(-a) = \frac{e^{-a} + e^{a}}{2}

cosh⁡(a)=ea+e−a2\cosh(a) = \frac{e^{a} + e^{-a}}{2}

y estas dos expresiones claramente son iguales.

Por lo tanto, como la función cosh⁡(x)\cosh(x) verifica las hipótesis del Teorema de Rolle, entonces Rolle nos asegura que en el intervalo (−a,a)(-a,a) tiene que existir al menos un cc tal que la derivada de cosh⁡(x)\cosh(x) se anule, es decir que:

sinh⁡(c)=0 \sinh(c) = 0
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Claudio
20 de septiembre 13:12
Hola profe, disculpe la hipótesis 2 no seria -sinh(x).
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Flor
PROFE
21 de septiembre 9:29
@Claudio Hola Claudio! Nono, la derivada del seno hiperbólico es coseno hiperbólico, y al revés también (es decir, no cambia el signo como en las derivadas de seno y coseno) 

O sea, si vos derivas la expresión de cosh, obtenés eso que yo puse ahí en la hipótesis 2 que es la definición de sinh :) 

De paso Claudio te preguntoooo, vos la estás cursando este cuatri en Palacios Puebla? La numeración de los ejercicios se viene manteniendo igual o cambió? Te pido porfa que si ves que las guías que vos tenés difieren con las que están acá, me las mandes a florcutraro@gmail.com, así las actualizo :D
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Claudio
21 de septiembre 19:36
Hola, le cuento soy medio infiltrado, comencé el cbc y  después me cambie a unsam. la verdad me sirve lo que ustedes dan, me ayudan a bajar los conceptos a tierra . ahora me estoy preparando para un final . 
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