En este caso nuestra función es $\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ y tenemos que verificar que cumple las hipótesis del Teorema en el intervalo $[-a, a]$ con $a>0$. Vayamos punto por punto para ver si cumple:

Hipótesis 1: Continuidad de \(\cosh(x)\)

Fijate que la función \(\cosh(x)\) se define como $\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$, y ahí tenemos simplemente dos exponenciales sumándose, no tenemos ninguna restricción que nos haga suponer que nuestra función sea discontinua en algún punto. Por lo tanto,  \(\cosh(x)\) es continua en \(\mathbb{R}\) y, en particular, lo es en el intervalo cerrado \([-a, a]\).

Hipótesis 2: Derivabilidad de \(\cosh(x)\)

Calculemos la derivada de \(\cosh(x)\) y comprobemos que es una función continua en \((-a, a)\). 

$ (\cosh(x))' = \frac{1}{2}\left(e^{x} - e^{-x}\right) = \sinh(x) $

Aclaro por las dudas: Si te perdiste con esta derivada, fijate que a $\cosh(x)$ lo podes escribir así: $\cosh (x)=\frac{1}{2} (e^{x}+e^{-x})$ y ahí derivás ;)

 

Esto que acabamos de obtener es como se define el seno hiperbólico de $x$, \(\sinh(x)\). Y fijate que esta función que obtuvimos está definida para todo \(\mathbb{R}\), no hay ningún $x$ en el cual esta función (que es la derivada de \(\cosh(x)\)) no esté definida, lo que significa que \(\cosh(x)\) es derivable en todo \(\mathbb{R}\), en particular lo será en cualquier intervalo de la forma \((-a, a)\).

Hipótesis 3: Valores iguales en los extremos del intervalo

Calculemos $\cosh(-a)$ y $\cosh(a)$ y veamos que siempre son iguales:

Finalmente, debemos verificar que los valores de \(\cosh(x)\) en los extremos del intervalo son iguales: $ \cosh(-a) = \frac{e^{-a} + e^{a}}{2}$

$ \sinh(c) = 0 $