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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 6 - Teoremas del cálculo diferencial y aplicaciones

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1. Considere la función coseno hiperbólico cosh⁡(x)=ex+e−x2\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} definida sobre todo R\mathbb{R}.
b) Utilice un graficador. Halle a simple vista el valor de cc cuya existencia asegura la tesis del teorema y luego encuentre ese valor analíticamente.

Respuesta

Espero que tengas abierto GeoGebra en la otra pestaña y ya estés graficando f(x)=cosh⁡(x)f(x) = \cosh(x). 

Pensá en algún intervalo de la forma [−a,a][-a,a], ¿cuál sería? no sé, por ejemplo [−1,1],[−5,5][-1,1], [-5,5], el que quieras... 

Ahora, mirá fijo la función y decime en qué punto la derivada se anula... o en otras palabras, en qué punto la pendiente de la recta tangente vale cero. 

Eso está ocurriendo en x=0x=0, no? Mirá:

2024-05-07%2013:16:19_8545161.png

En x=0x=0 vemos que la pendiente de la recta tangente a ff se anula, que era justamente lo que nos aseguraba Rolle, que ibamos a encontrar algún punto para el cual la derivada (la pendiente de la recta tangente) valiera cero. 

Ahora que ya vimos que el cc que verifica que sinh⁡(c)=0\sinh(c) = 0 es c=0c=0, probémoslo analíticamente. 

sinh⁡(c)= 12(ec−e−c)=0\sinh(c) = \frac{1}{2}\left(e^{c} - e^{-c}\right) = 0

Despejamos...

ec−e−c=0e^c - e^{-c} = 0

ec=e−ce^c = e^{-c}

c=−cc = -c

2c=02c = 0

c=0c = 0

Efectivamente, en c=0c=0 la derivada se anula, como ya habíamos visto en el gráfico ;)
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