$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{3}}$

y veamos que efectivamente nos da $+\infty$.

En este caso estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito" que, con las herramientas que teníamos hasta ahora, no podemos salvar. Vamos a usar L'Hopital en este caso. Acordate que L'Hopital nos sirve para salvar indeterminaciones de tipo "infinito sobre infinito" y "cero sobre cero". Si aplicamos L'Hopital nos queda:

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{3x^2}$

Sigue la indeterminación, volvemos a aplicar L'Hopital...

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{6x}$

Aplicamos L'Hopital una vez más...

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{6} = +\infty$

Por lo tanto, vemos que el resultado del límite efectivamente es $+\infty$

Ahora tratemos de entender por qué

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty$

para cualquier $n$ natural. 

Fijate que si aplicamos L'Hopital como hicimos recién, la derivada del numerador siempre va a ser $e^x$. Y el numerador lo voy a poder derivar tantas veces como sea necesario, pero al final siempre voy a poder lograr que me quede un número (como nos pasó en el ejemplo de recién). Por lo tanto, este límite (después de aplicar L'Hopital quizás muuuuchas veces) me va a terminar dando siempre $+\infty$, no importa el grado del polinomio que tenga en el denominador.