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Análisis Matemático 66
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PALACIOS PUEBLA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
8.
b) Probar que \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{p}}=0\] para cualquier número $p>0$. Esto demuestra que la función logarítmica tiende a infinito más lentamente que cualquier potencia de $\mathrm{x}$.
b) Probar que \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{p}}=0\] para cualquier número $p>0$. Esto demuestra que la función logarítmica tiende a infinito más lentamente que cualquier potencia de $\mathrm{x}$.
Respuesta
Ahora queremos calcular este límite:
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$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{p}}$
y ver que el resultado es $0$, para cualquier $p > 0$.
En este caso estamos nuevamente frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Probemos de aplicar L'Hopital (derivo lo de arriba y lo pongo arriba, derivo lo de abajo y lo pongo abajo...) y nos queda:
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{x}}{p \cdot x^{p-1}}$
Reacomodamos un poco:
$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{p \cdot x^{p-1}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{p \cdot x^p} = 0$
Por lo tanto, este límite da $0$ para cualquier $p > 0$.