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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 6 - Teoremas del cálculo diferencial y aplicaciones

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8.
b) Probar que lim⁡x→+∞ln⁡(x)xp=0\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{p}}=0 para cualquier número p>0p>0. Esto demuestra que la función logarítmica tiende a infinito más lentamente que cualquier potencia de x\mathrm{x}.

Respuesta

Ahora queremos calcular este límite:

lim⁡x→+∞ln⁡(x)xp\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{p}}

y ver que el resultado es 00, para cualquier p>0p > 0. 

En este caso estamos nuevamente frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Probemos de aplicar L'Hopital (derivo lo de arriba y lo pongo arriba, derivo lo de abajo y lo pongo abajo...) y nos queda:

lim⁡x→+∞1xp⋅xp−1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{x}}{p \cdot x^{p-1}}

Reacomodamos un poco:

lim⁡x→+∞1x⋅1p⋅xp−1= lim⁡x→+∞1p⋅xp=0\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{p \cdot x^{p-1}} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{p \cdot x^p} = 0

Por lo tanto, este límite da 00 para cualquier p>0p > 0.
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