$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

y vemos que tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", así que vamos a probar qué pasa si intentamos aplicar L'Hopital para salvarla. Si derivamos numerador y denominador aplicando L'Hopital nos queda:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$

Ups, sigue la indeterminación... y si probamos de aplicar L'Hopital de nuevo nos queda...

$\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}}{1} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

...qué es lo mismo que teníamos al principio! Es decir, nos podríamos pasar la vida aplicando L'Hopital una y otra vez y nunca vamos a salir de este loop. Cuando pasan estas cosas, tenemos que recurrir a las otras herramientas que aprendimos hasta ahora para salvar estas indeterminaciones... y de hecho esta sabríamos como salvarla, no? Hicimos varias así al principio... ¡sacando factor común "el que manda"! 

Arrancábamos sacando factor común la potencia más grande de $x$ adentro de la raíz...

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}(1+\frac{1}{x^{2}})}}$

Distribuimos la raíz

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}$

Cuando cancelo potencia y raíz me queda $|x|$, pero como $x$ tiende a $+\infty$ es recontra positivo así que $|x| = x$

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}$

Simplificamos y tomamos límite:

$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}} = 1$

En general, L'Hopital nos va a salvar las papas un montón de veces, pero hay casos como este donde tenemos que recurrir a las viejas confiables de las primeras prácticas :)