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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 6 - Teoremas del cálculo diferencial y aplicaciones

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8.
c) ¿Qué sucede si intenta usted utilizar la regla de L'Hopital para obtener el límite 
lim⁡x→+∞xx2+1? \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} ? 
Evaluar el límite utilizando cualquier otro método.

Respuesta

Ahora queremos calcular este límite:

lim⁡x→+∞xx2+1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

y vemos que tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", así que vamos a probar qué pasa si intentamos aplicar L'Hopital para salvarla. Si derivamos numerador y denominador aplicando L'Hopital nos queda:

lim⁡x→+∞12x2x2+1=lim⁡x→+∞x2+1x\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}

Ups, sigue la indeterminación... y si probamos de aplicar L'Hopital de nuevo nos queda...

lim⁡x→+∞2x2x2+11= lim⁡x→+∞xx2+1\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}}{1} = \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}

...qué es lo mismo que teníamos al principio! Es decir, nos podríamos pasar la vida aplicando L'Hopital una y otra vez y nunca vamos a salir de este loop. Cuando pasan estas cosas, tenemos que recurrir a las otras herramientas que aprendimos hasta ahora para salvar estas indeterminaciones... y de hecho esta sabríamos como salvarla, no? Hicimos varias así al principio... ¡sacando factor común "el que manda"! 

Arrancábamos sacando factor común la potencia más grande de xx adentro de la raíz...

lim⁡x→+∞xx2(1+1x2)\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}(1+\frac{1}{x^{2}})}}

Distribuimos la raíz

lim⁡x→+∞xx21+1x2\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}}\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}

Cuando cancelo potencia y raíz me queda ∣x∣|x|, pero como xx tiende a +∞+\infty es recontra positivo así que ∣x∣=x|x| = x

lim⁡x→+∞xx1+1x2\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}

Simplificamos y tomamos límite:

lim⁡x→+∞11+1x2=1\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}} = 1

En general, L'Hopital nos va a salvar las papas un montón de veces, pero hay casos como este donde tenemos que recurrir a las viejas confiables de las primeras prácticas :)
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