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Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $2$ centrado en $x=0$ de la función $f(x)=2+3 x+4 x^{2}$
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
Práctica 7 - Aproximación polinomial
1.
Calcular el polinomio de Taylor de orden $n$ de $f$ centrado en $x_{0}$:
a) $f(x)=2+3 x+4 x^{2}, n=2, x_{0}=0$
a) $f(x)=2+3 x+4 x^{2}, n=2, x_{0}=0$
Respuesta
Aclaración: Antes de arrancar esta guía es clave que hayas visto, como mínimo, la primera clase de Polinomio de Taylor! ⚠️
Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
$ p(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2!}(x - 0)^2 $$ p(x) = f(0) + f'(0) \cdot x + \frac{f''(0)}{2}x^2 $
Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que encontrar entonces quiénes son $f(0)$,$f'(0)$ y $f''(0)$. Vamos con eso:
$ f(x) = 2 + 3x + 4x^{2} $
$ f(0) = 2 $
$ f'(x) = 3 + 8x $
$ f'(0) = 3 $
$ f''(x) = 8 $
$ f''(0) = 8 $
Reemplazamos ahora los valores que obtuvimos en la estructura de nuestro polinomio de Taylor:
$ p(x) = 2 + 3x + \frac{8}{2}(x^{2}) $
$ p(x) = 2 + 3x + 4x^{2} $
Obtuvimos la misma función $f(x)$ original 😱 ¿Por qué fue eso? Fijate que nuestra función $f$ es un polinomio de grado $2$... y nosotrxs estábamos buscando un polinomio, también de grado $2$ que cerca del cero aproxime bien a nuestra función. Bueno, como nuestra función ya era un polinomio, y si, la que mejor aproxima es la función misma :)