Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2024
PALACIOS PUEBLA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
1.
Calcular el polinomio de Taylor de orden $n$ de $f$ centrado en $x_{0}$:
f) $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}, n=2, x_{0}=1$
f) $f(x)=\frac{\ln (x)}{x}, n=2, x_{0}=1$
Respuesta
Ahora nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden \( n = 2 \) centrado en \( x = 1 \) de la función \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \).
Sabemos que la estructura de este Taylor que estamos buscando es esta:
$ p(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 $
Arrancamos entonces a buscar los elementos que necesitamos para completar nuestra respuesta:
$ f(x) = \frac{\ln(x)}{x} $
Reportar problema
$ f(1) = 0 $
Ahora arrancamos con las derivadas. Para la derivada primera usamos regla del cociente, y después de simplificar te queda:
$ f'(x) = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} $
$ f'(1) = 1 $
Para la derivada segunda volvemos a aplicar regla del cociente:
$ f''(x) = \frac{-\frac{1}{x} \cdot x^2 - (1-\ln(x)) \cdot 2x}{x^4} $
$ f''(1) = -3 $
Listooo! Reemplazamos ahora en la estructura de nuestro Taylor:
$ p(x) = 0 + 1 \cdot (x - 1) + \frac{-3}{2}(x - 1)^2 $
$ p(x) = (x - 1) - \frac{3}{2}(x - 1)^2 $
Por lo tanto, este es el polinomio de Taylor de orden \( n = 2 \) que estábamos buscando para la función \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) centrado en \( x_0 = 1 \) :)