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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
1.
Calcular el polinomio de Taylor de orden $n$ de $f$ centrado en $x_{0}$:
g) $f(x)=\operatorname{arcsen}(x), n=2, x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
g) $f(x)=\operatorname{arcsen}(x), n=2, x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Respuesta
Ahora nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden \( n = 2 \) centrado en \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) de la función \( f(x) = \arcsin(x) \).
La estructura del Taylor que estamos buscando es esta:
\( p(x) = f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + f'\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)(x - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{f''\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2!}(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 \)
Arrancamos entonces a buscar lo que necesitamos:
\( f(x) = \arcsin(x) \)
Reportar problema
\( f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} \)
La derivada de \( \arcsin(x) \) es:
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
Aclaración: Esta derivada es de tabla y te la agregué en el apunte "Otras derivadas de tabla útiles para recordar", que lo encontrás en Aproximación lineal y derivadas -> Introducción a Derivadas
\( f'\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}}} = \sqrt{2} \)
Para la derivada segunda, podés usar regla del cociente, o sino otra manera es reescribir $f'(x)$ así:
$f'(x) = (1-x^2)^{-1/2}$
y ahora derivás con las reglas para polinomios. Con cualquiera de los dos caminos y después de simplificar lo que necesites, deberías llegar a:
\( f''(x) = \frac{x}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}} \)
\( f''\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 \)
Listooo! Reemplazamos ahora en la estructura de nuestro Taylor:
\( p(x) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}(x - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{2}{2}(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 \)
\( p(x) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}(x - \frac{\sqrt{2}}{2}) +1 (x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 \)
Por lo tanto, este es el polinomio de Taylor de orden que necesitábamos :)