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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 7 - Aproximación polinomial

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1. Calcular el polinomio de Taylor de orden nn de ff centrado en x0x_{0}:
g) f(x)=arcsen⁡(x),n=2,x0=22f(x)=\operatorname{arcsen}(x), n=2, x_{0}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Respuesta

Ahora nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden n=2 n = 2 centrado en x=22 x = \frac{\sqrt{2}}{2} de la función f(x)=arcsin⁡(x) f(x) = \arcsin(x) . La estructura del Taylor que estamos buscando es esta: p(x)=f(22)+f′(22)(x−22)+f′′(22)2!(x−22)2 p(x) = f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + f'\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)(x - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{f''\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2!}(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 Arrancamos entonces a buscar lo que necesitamos: f(x)=arcsin⁡(x) f(x) = \arcsin(x)
f(22)=π4 f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}
La derivada de arcsin⁡(x) \arcsin(x) es:
f′(x)=11−x2 f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

Aclaración: Esta derivada es de tabla y te la agregué en el apunte "Otras derivadas de tabla útiles para recordar", que lo encontrás en Aproximación lineal y derivadas -> Introducción a Derivadas
f′(22)=11−(22)2=11−12=2 f'\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2}}} = \sqrt{2} Para la derivada segunda, podés usar regla del cociente, o sino otra manera es reescribir f′(x)f'(x) así: 

f′(x)=(1−x2)−1/2f'(x) = (1-x^2)^{-1/2}

y ahora derivás con las reglas para polinomios. Con cualquiera de los dos caminos y después de simplificar lo que necesites, deberías llegar a:
f′′(x)=x(1−x2)32 f''(x) = \frac{x}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}
f′′(22)=2 f''\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2 Listooo! Reemplazamos ahora en la estructura de nuestro Taylor: p(x)=π4+2(x−22)+22(x−22)2 p(x) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}(x - \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{2}{2}(x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 p(x)=π4+2(x−22)+1(x−22)2 p(x) = \frac{\pi}{4} + \sqrt{2}(x - \frac{\sqrt{2}}{2}) +1 (x - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 Por lo tanto, este es el polinomio de Taylor de orden que necesitábamos :)
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