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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 7 - Aproximación polinomial

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3. Suponga que f:(0,5)→Rf:(0,5) \rightarrow \mathbb{R} es una función tres veces derivable con polinomio de Taylor de orden 3 en x0=2x_{0}=2 dado por P3(x)=2+3x−2x2−14x3P_{3}(x)=2+3 x-2 x^{2}-\frac{1}{4} x^{3}
a) Hallar f(2),f′(2),f′′(2)f(2), f^{\prime}(2), f^{\prime \prime}(2) y f′′′(2)f^{\prime \prime \prime}(2).

Respuesta

Para resolver este primer item vamos a usar uno de los conceptos claves que vimos en la primera clase de Polinomio de Taylor. Como nos dan el polinomio de Taylor de ff centrado en x=2x=2, entonces sabemos que se cumple que:

f(2)=p(2)f(2) = p(2)

f′(2)=p′(2)f'(2) = p'(2)

f′′(2)=p′′(2)f''(2) = p''(2)

f′′′(2)=p′′′(2)f'''(2) = p'''(2)

y acá paramos porque nuestro polinomio es de orden 33. 

Entonces, para obtener ff y sus derivadas evaluadas en x=2x=2, simplemente vamos a evaluar en el polinomio y sus derivadas :)

f(2)=P(2)=−2 f(2) = P(2) = -2

Calculamos ahora la derivada de PP

P′(x)=3−4x−34x2 P'(x) = 3 - 4x - \frac{3}{4}x^2

Entonces...

f′(2)=P′(2)=−8f'(2) = P'(2) = -8

Vamos con la derivada segunda:

P′′(x)=−4−32x P''(x) = -4 - \frac{3}{2}x

f′′(2)=P′′(2)=−7f''(2) = P''(2) = -7

Y por último la derivada tercera:

P′′′(x)=−32 P'''(x) = -\frac{3}{2}

Así que es muy fácil:
f′′′(2)=P′′′(2)=−32 f'''(2) = P'''(2) = -\frac{3}{2}

Y listo, conociendo el Taylor de orden 33 centrado en x=2x=2, pudimos obtener cuánto valía f(2)f(2), f′(2)f'(2), f′′(2)f''(2) y f′′′(2)f'''(2)
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