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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
4.
Considere la función $f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)}$.
b) Halle el polinomio de Taylor de orden tres alrededor de $x_{0}=0$ para $h(x)=x f^{2}(x)$.
b) Halle el polinomio de Taylor de orden tres alrededor de $x_{0}=0$ para $h(x)=x f^{2}(x)$.
Respuesta
Arrancamos entonces bien ordenaditos escribiendo cuál es el polinomio de Taylor que queremos encontrar. En este caso se trata del Taylor de orden $3$ de una función $h$ centrado en $x=0$:
Reportar problema
\( p(x) = h(0) + h'(0)x + \frac{h''(0)}{2!}x^2 + \frac{h'''(0)}{3!}x^3 \)
Como venimos haciendo, vamos buscando las piezas que nos faltan:
✅ $h(0)$
\( h(0) = 0 \cdot f^2(0) = 0 \)
✅ $h'(0)$
Derivamos $h$ usando regla del producto:
\( h'(x) = 1 \cdot [f(x)]^2 + x \cdot 2f(x) \cdot f'(x) \)
Dejame que la reescriba apenas:
\( h'(x) = [f(x)]^2 + 2x \cdot f(x) \cdot f'(x) \)
Evaluamos en $x=0$
\( h'(0) = [f(0)]^2 + 2 \cdot 0 \cdot f(0) \cdot f'(0) = 1 + 0 = 1 \)
✅ $h''(0)$
Ahora tenemos que derivar $h'(x)$. Cuando ya se empieza a tornar cuentosa prefiero mostrartela en la tablet para qué veas bien cómo derivamos esto:
Aclaración: Presta atención que cuando tuvimos que hacer "el primero derivado", tuvimos que derivarlo usando regla del producto también!
Evaluamos en $x=0$
$h''(0) = 2f(0)f'(0) + 2 f(0)f'(0) = 4$
✅ $h'''(0)$
La derivada tercera es muy muy cuentosa, la hago bien esquemática en la tablet para intentar que nadie se pierda, pero hay que tener mucho cuidado porque regla del producto aparece todo el tiempo.
Respiramos profundo y evaluamos en $x=0$. Yo lo acabo de hacer y me quedó:
$h'''(0) = 12$
Listoooo, reemplazamos ahora en el esqueleto de nuestra respuesta y obtenemos $p(x)$:
\( p(x) = h(0) + h'(0)x + \frac{h''(0)}{2!}x^2 + \frac{h'''(0)}{3!}x^3 \)
\( p(x) = x + \frac{4}{2}x^2 + \frac{12}{6}x^3 \)
$p(x) = x + 2x^2 + 2x^3$
Confieso que con tanto quilombo de cuentas fui a chequear la respuesta a WolframAlpha casi temblando jajaja, pero si, efectivamente es la respuesta correcta :)