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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 7 - Aproximación polinomial

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4. Considere la función f(x)=esen⁡(x)f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)}.
c) Halle el polinomio de Taylor de orden tres en x1=1x_{1}=1 para g(x)=cosh⁡(x−1)+f(x2−1)g(x)=\cosh (x-1)+f\left(x^{2}-1\right)

Respuesta

Yo ya leo polinomio de Taylor de orden 33 y estoy teniendo palpitaciones, no se vos jaja... pero dale, arranquémoslo con pilas que con suerte no va a ser tan cuentoso como los otros 🙃

Como siempre, lo primero que hacemos es escribirnos la estructura del Taylor que queremos encontrar, en este caso el de orden 33, centrado en x=1x=1, de la función gg

p(x)=g(1)+g′(1)(x−1)+g′′(1)2!(x−1)2+g′′′(1)3!(x−1)3 p(x) = g(1) + g'(1)(x - 1) + \frac{g''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{g'''(1)}{3!}(x - 1)^3

Buscamos las piezas que nos faltan para completar nuestra respuesta:

✅ g(1)g(1)

g(1)=cosh⁡(0)+f(0)=1+1=2 g(1) = \cosh(0)+f(0)= 1 + 1 = 2

Tip: Para evaluar cosh⁡\cosh y sinh⁡\sinh (cuando nos aparezca más adelante), acordate que se definen así:

cosh⁡(x)=ex+e−x2\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}

sinh⁡(x)= ex−e−x2\sinh(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}

Ahora si, seguimos...

✅ g′(1)g'(1)

Calculamos la derivada de gg

g′(x)=sinh⁡(x−1)+f′(x2−1)⋅2xg'(x) = \sinh(x-1) + f'(x^2-1) \cdot 2x

Evaluamos en x=1x=1

g′(1)=sinh⁡(0)+f′(0)⋅2⋅1=2g'(1) = \sinh(0) + f'(0) \cdot 2 \cdot 1 = 2

✅ g′′(1)g''(1)

Calculamos la derivada segunda:

g′′(x)=cosh⁡(x−1)+f′′(x2−1)⋅2x⋅2x+f′(x2+1)⋅2g''(x) = \cosh(x-1) + f''(x^2-1) \cdot 2x \cdot 2x + f'(x^2+1) \cdot 2

g′′(1)= cosh⁡(0)+f′′(0)⋅4+f′(0)⋅2=7g''(1) = \cosh(0)+ f''(0) \cdot 4 + f'(0) \cdot 2 = 7

Perrrrfecto, seguimos...

✅ g′′′(1)g'''(1)

Antes de derivar te propongo que reacomodemos un poco g′′(x)g''(x)

g′′(x)=cosh⁡(x−1)+f′′(x2−1)⋅4x2+f′(x2+1)⋅2g''(x) = \cosh(x-1) + f''(x^2-1) \cdot 4x^2 + f'(x^2+1) \cdot 2

Ahora si, derivamos:

g′′′(x)=sinh⁡(x−1)+f′′′(x2−1)⋅2x⋅4x2+f′′(x2−1)⋅8x+f′′(x2+1)⋅2x⋅2g'''(x) = \sinh(x-1) + f'''(x^2-1) \cdot 2x \cdot 4x^2 + f''(x^2-1) \cdot 8x + f''(x^2+1) \cdot 2x \cdot 2

g′′′(1)=20g'''(1) = 20

Qué alivioooo, no fue tan cuentoso como los otros! Reemplazamos en la estructura de nuestro Taylor y ya estamos...

p(x)=g(1)+g′(1)(x−1)+g′′(1)2!(x−1)2+g′′′(1)3!(x−1)3 p(x) = g(1) + g'(1)(x - 1) + \frac{g''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{g'''(1)}{3!}(x - 1)^3

p(x)=2+2(x−1)+72(x−1)2+206(x−1)3 p(x) = 2 + 2(x - 1) + \frac{7}{2}(x - 1)^2 + \frac{20}{6}(x - 1)^3

p(x)=2+2(x−1)+72(x−1)2+103(x−1)3 p(x) = 2 + 2(x - 1) + \frac{7}{2}(x - 1)^2 + \frac{10}{3}(x - 1)^3

Como te vengo diciendo en otros ejercicios, está buenísimo si graficás en GeoGebra la función y el polinomio que encontramos para ver qué bien aproxima a la función cerca de x=1x=1 🤲
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