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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
4.
Considere la función $f(x)=e^{\operatorname{sen}(x)}$.
c) Halle el polinomio de Taylor de orden tres en $x_{1}=1$ para $g(x)=\cosh (x-1)+f\left(x^{2}-1\right)$
c) Halle el polinomio de Taylor de orden tres en $x_{1}=1$ para $g(x)=\cosh (x-1)+f\left(x^{2}-1\right)$
Respuesta
Yo ya leo polinomio de Taylor de orden $3$ y estoy teniendo palpitaciones, no se vos jaja... pero dale, arranquémoslo con pilas que con suerte no va a ser tan cuentoso como los otros 🙃
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Como siempre, lo primero que hacemos es escribirnos la estructura del Taylor que queremos encontrar, en este caso el de orden $3$, centrado en $x=1$, de la función $g$
\( p(x) = g(1) + g'(1)(x - 1) + \frac{g''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{g'''(1)}{3!}(x - 1)^3 \)
Buscamos las piezas que nos faltan para completar nuestra respuesta:
✅ $g(1)$
\( g(1) = \cosh(0)+f(0)= 1 + 1 = 2 \)
Tip: Para evaluar $\cosh$ y $\sinh$ (cuando nos aparezca más adelante), acordate que se definen así:
$\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$
$\sinh(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$
Ahora si, seguimos...
✅ $g'(1)$
Calculamos la derivada de $g$
$g'(x) = \sinh(x-1) + f'(x^2-1) \cdot 2x$
Evaluamos en $x=1$
$g'(1) = \sinh(0) + f'(0) \cdot 2 \cdot 1 = 2$
✅ $g''(1)$
Calculamos la derivada segunda:
$g''(x) = \cosh(x-1) + f''(x^2-1) \cdot 2x \cdot 2x + f'(x^2+1) \cdot 2$
$g''(1) = \cosh(0)+ f''(0) \cdot 4 + f'(0) \cdot 2 = 7$
Perrrrfecto, seguimos...
✅ $g'''(1)$
Antes de derivar te propongo que reacomodemos un poco $g''(x)$
$g''(x) = \cosh(x-1) + f''(x^2-1) \cdot 4x^2 + f'(x^2+1) \cdot 2$
Ahora si, derivamos:
$g'''(x) = \sinh(x-1) + f'''(x^2-1) \cdot 2x \cdot 4x^2 + f''(x^2-1) \cdot 8x + f''(x^2+1) \cdot 2x \cdot 2$
$g'''(1) = 20$
Qué alivioooo, no fue tan cuentoso como los otros! Reemplazamos en la estructura de nuestro Taylor y ya estamos...
\( p(x) = g(1) + g'(1)(x - 1) + \frac{g''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{g'''(1)}{3!}(x - 1)^3 \)
\( p(x) = 2 + 2(x - 1) + \frac{7}{2}(x - 1)^2 + \frac{20}{6}(x - 1)^3 \)
\( p(x) = 2 + 2(x - 1) + \frac{7}{2}(x - 1)^2 + \frac{10}{3}(x - 1)^3 \)
Como te vengo diciendo en otros ejercicios, está buenísimo si graficás en GeoGebra la función y el polinomio que encontramos para ver qué bien aproxima a la función cerca de $x=1$ 🤲