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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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3.
Una partícula se mueve de acuerdo con la información dada. Determinar la posición $s(t)$ de la partícula sabiendo que $v(t)$ es la función de velocidad en el instante $t$ y que $a(t)$ es la función que da la aceleración de la partícula en el instante $t$ :
c) $a(t)=t^{2}-4 t+6, s(0)=0, s(1)=20$
c) $a(t)=t^{2}-4 t+6, s(0)=0, s(1)=20$
Respuesta
Al igual que en el item anterior, vamos a arrancar integrando la función aceleración para obtener $v(t)$
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$v(t) = \int a(t) \, dt = \int (t^2 - 4t + 6) \, dt = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 6t + C_1$
Fijate ahora que, a diferencia del item anterior, no tenemos ninguna condición para la velocidad que nos permita despejar la constante $C_1$. Bueno, avancemos integrando una vez más entonces:
$s(t) = \int v(t) \, dt = \int \left(\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 6t + C_1\right) \, dt = \frac{t^4}{12} - \frac{2t^3}{3} + 3t^2 + C_1t + C_2$
Atenti ahi cuando integramos $C_1$, acordate que es simplemente un número, por eso al integrarlo nos quedó $C_1 \cdot t$
Ahora tenemos dos condiciones para la posición que nos van a permitir despejar nuestras constantes $C_1$ y $C_2$
Primero aplicamos $s(0) = 0$:
$\frac{0^4}{12} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 3 \cdot 0^2 + C_1 \cdot 0 + C_2 = 0$
$C_2 = 0$
Perfecto, ahora aplicamos $s(1) = 20$:
$\frac{1^4}{12} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 3 \cdot 1^2 + C_1 \cdot 1 = 20$
$C_1 = \frac{211}{12}$
Listoooo, ya tenemos entonces la función posición que estábamos buscando! :D
$s(t) = \frac{t^4}{12} - \frac{2t^3}{3} + 3t^2 + \frac{211}{12}t$
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