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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
5.
Calcular las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:
e) $\int \operatorname{sen}^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos \left(\frac{x}{3}\right) d x$
e) $\int \operatorname{sen}^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos \left(\frac{x}{3}\right) d x$
Respuesta
En este caso, la integral que queremos resolver es:
$\int \sin^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos\left(\frac{x}{3}\right) dx$
Vamos a tomar la sustitución:
$u = \sin\left(\frac{x}{3}\right)$
$du = \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} dx \Rightarrow 3 \, du = \cos\left(\frac{x}{3}\right) dx$
Reescribimos nuestra integral en términos de $u$:
$\int \sin^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos\left(\frac{x}{3}\right) dx = 3 \int u^{5} du$
Y ahora integramos:
$3\int u^{5} du = 3 \cdot \frac{1}{6}u^{6} + C = \frac{1}{2}u^{6} + C$
No te olvides que tenemos que volver a la variable original $x$:
$\frac{1}{2}u^{6} + C = \frac{1}{2}\sin^{6}\left(\frac{x}{3}\right) + C$
Por lo tanto, el resultado de la integral es:
$\int \sin^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos\left(\frac{x}{3}\right) dx = \frac{1}{2}\sin^{6}\left(\frac{x}{3}\right) + C$
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