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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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7. [Sustitución trigonométrica] Asumiendo la validez de

I) ∫11+x2dx=arctan⁡(x)+C\int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\arctan (x)+C

II) ∫11−x2dx=arcsen⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\operatorname{arcsen}(x)+C

III) ∫11−x2dx=arctanh⁡(x)+C\int \frac{1}{1-x^{2}} d x=\operatorname{arctanh}(x)+C

IV) ∫11+x2dx=arcsenh⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\operatorname{arcsenh}(x)+C

utilice el método de sustitución para calcular las siguientes integrales:
b) ∫dx3−4x2\int \frac{d x}{\sqrt{3-4 x^{2}}}

Respuesta

Para resolver esta integral vamos a usar las mismas ideas que en el item anterior. Fijate que nuestra integral es

∫dx3−4x2\int \frac{d x}{\sqrt{3-4 x^{2}}}

y tiene un aire (ponele) a esta otra del enunciado:

∫11−x2dx=arcsen⁡(x)+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx=\operatorname{arcsen}(x)+C

Vamos entonces a reescribir nuestra integral para que resulte obvio qué sustitución tomar y que nos aparezca la integral dato del enunciado, que sabemos que su primitiva es arcsen⁡(x)\operatorname{arcsen}(x)

Si sacamos factor común 33 como antes, después distribuimos la raíz y reescribimos lo que necesitamos tener elevado al cuadrado, nos queda:

∫13−4x2 dx=∫131−(2x3)2 dx\int \frac{1}{\sqrt{3-4x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{1-\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)^2}} \, dx

Buenisimoooo, ahora tenemos algo de la forma 11−u2\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}, donde u=2x3u = \frac{2x}{\sqrt{3}}. Entonces vamos a tomar esa sustitución
u=2x3u = \frac{2x}{\sqrt{3}} du=23dx⇒dx=32dudu = \frac{2}{\sqrt{3}} dx \Rightarrow dx = \frac{\sqrt{3}}{2} du

Escribimos ahora nuestra integral en términos de uu

∫131−(2x3)2 dx=13∫11−u2  32du= 12∫11−u2 du= 12arcsin⁡(u)+C\int \frac{1}{\sqrt{3}\sqrt{1-\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)^2}} \, dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \, \frac{\sqrt{3}}{2}du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \, du = \frac{1}{2} \arcsin(u) + C

Y ahora volvemos a la variable xx y el resultado que obtenemos es....

∫dx3−4x2=12arcsin⁡(2x3)+C\int \frac{dx}{\sqrt{3-4x^2}} = \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{2x}{\sqrt{3}}\right) + C
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Danilo
17 de junio 9:09
Hola Flor, como estas? es necesario reescribir 4xal cuadrado como un 2x/raiz de 3 al cuadrado?a esto me refiero, no podria hacer directamente u=4x(cuadrado/raiz de 3?
0 Responder
Danilo
17 de junio 9:09
0 Responder
Danilo
17 de junio 9:10
no me deja subir la foto, pero creo que se entiende lo que estoy preguntando
0 Responder
Delfina
12 de junio 11:44
Hola flor, a mí la derivada de 2x/ raíz de 3 me da distinto a vos 
A mí la derivada me dio 2por raíz de 3 /3
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Flor
PROFE
12 de junio 18:16
@Delfina Hola Delfi! Está bien también, fijate que si ponés en la calculadora: 

23\frac{2}{\sqrt{3}} 

es el mismo número que

233\frac{2 \sqrt{3}}{3}

;)

Eso es por esto: Si vos partis de 23\frac{2}{\sqrt{3}}  y multiplicas y dividis por 3\sqrt{3} te queda:

23⋅33=23(3)2= 233\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}
0 Responder