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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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8.
Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
b) $\int t \operatorname{sen}(\beta t) d t$
b) $\int t \operatorname{sen}(\beta t) d t$
Respuesta
Vamos a resolver esta integral nuevamente usando integración por partes:
Reportar problema
$\int t \operatorname{sen}(\beta t) d t$
Que no te confunda esta expresión, $\beta$ es simplemente un número eh, imaginate el que quieras ahí jaja
Recordemos como siempre:
$ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $
Entonces vamos a tomar:
$g = t \Rightarrow g' = 1$
$f' = \sin(\beta t) dt \Rightarrow f = \int\sin(\beta t) \, dt = -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t)$
Esta integral que acaba de aparecer ahí: $\int\sin(\beta t) \, dt$ sale por sustitución tomando
$u = \beta t$
$du = \beta \, dt \Rightarrow dt = \frac{du}{\beta}$
y con esto deberías llegar sin problemas a ese resultado. Todo esto en un parcial lo podés poner en un cálculo auxiliar al costado en tu hoja.
Aplicamos entonces la fórmula de partes:
$\int t \operatorname{sen}(\beta t) d t = -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t) \cdot t - \int -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t) \, dt $
$\int t \operatorname{sen}(\beta t) d t = -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t) \cdot t + \frac{1}{\beta} \int \cos(\beta t) \, dt $
Y ahora esta integral nuevamente vuelve a salir por sustitución tomando $u = \beta t$ y obtenemos:
$\int t \operatorname{sen}(\beta t) d t = -\frac{1}{\beta}\cos(\beta t) \cdot t + \frac{1}{\beta^2} \sin(\beta t) + C$
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