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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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8. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
c) ∫t5ln⁡(t)dt\int t^{5} \ln (t) d t

Respuesta

La integral que queremos resolver
∫t5ln⁡(t)dt \int t^{5} \ln(t) dt
también es una integral que sale por partes. Recordemos la fórmula:
∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' En este caso vamos a tomar:
g=ln⁡(t)→g′=1t g = \ln(t) \rightarrow g' = \frac{1}{t}
f′=t5→f=t66 f' = t^{5} \rightarrow f = \frac{t^6}{6}
Reemplazamos en la fórmula de partes:
∫t5ln⁡(t)dt=t66⋅ln⁡(t)−∫t66⋅1tdt \int t^{5} \ln(t) dt = \frac{t^6}{6} \cdot \ln(t) - \int \frac{t^6}{6} \cdot \frac{1}{t} dt Simplificamos las tt que nos quedaron en la integral:
∫t5ln⁡(t)dt=t66ln⁡(t)−16∫t5dt=t66ln⁡(t)−16⋅t66=t66ln⁡(t)−t636 \int t^{5} \ln(t) dt = \frac{t^6}{6} \ln(t) - \frac{1}{6} \int t^{5} dt = \frac{t^6}{6} \ln(t) - \frac{1}{6} \cdot \frac{t^6}{6} = \frac{t^6}{6} \ln(t) - \frac{t^6}{36} Listo, ya estamos, el resultado de la integral entonces es
∫t5ln⁡(t)dt=t66ln⁡(t)−t636+C \int t^{5} \ln(t) dt = \frac{t^6}{6} \ln(t) - \frac{t^6}{36} + C
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