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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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8. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
f) $\int e^{-\theta} \cos (2 \theta) d \theta$

Respuesta

En la clase "Integrales que salen por partes usando algún truquito", vimos cómo resolver las integrales donde tenemos una exponencial multiplicando a una trigonométrica. Si todavía no viste esa clase, te recontra recomiendo que la mires antes de ver ese ejercicio, porque acá vamos a usar los mismos razonamientos que ya charlamos ahí :)

Aclarado esto, vamos a resolver la integral. 

$\int e^{-\theta} \cos (2 \theta) d \theta$

Aplicamos la fórmula de partes

$ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $

Tomamos:

$ g = e^{-\theta} \Rightarrow g' = -e^{-\theta} $ $ f' = \cos(2\theta) \Rightarrow f = \frac{1}{2}\sin(2\theta)$

Aclaración: Para pasar de $f'$ a $f$ integras por sustitución! 

Reemplazamos en la fórmula de partes

$\int \cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} \, d \theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \int \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot (-e^{-\theta}) d \theta $

$\int \cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} \, d \theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} + \frac{1}{2}\int e^{-\theta} \sin(2\theta) d \theta $

Ahora para resolver la integral que nos quedó volvemos a aplicar partes, tomando:

$ g = e^{-\theta} \Rightarrow g' = -e^{-\theta} $ $ f' = \sin(2\theta) \Rightarrow f = -\frac{1}{2}\cos(2\theta)$

De nuevo, esta integral salió por sustitución ;)

Reemplazamos:

$\int \cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} \, d \theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} + \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \int -\frac{1}{2}\cos(2\theta) (-e^{-\theta}) \, d \theta\right] $

$\int \cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} \, d \theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \frac{1}{4}\cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \frac{1}{4}\int e^{-\theta} \cos(2\theta) d \theta $

Pasamos la integral sumando para la izquierda

$\frac{5}{4} \cdot \int e^{-\theta} \cos(2\theta) \, d \theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \frac{1}{4}\cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} $

Paso el $\frac{5}{4}$ dividiendo y listooo...

$\int e^{-\theta} \cos(2\theta) \, d \theta = \frac{2}{5}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \frac{1}{5}\cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} + C$
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Avatar Ramiro 18 de junio 08:19
Hola profe, no entendí al final cuando sumaste las dos integrales cómo hiciste para que sea 5/4 multiplicando
Avatar Flor Profesor 18 de junio 11:24
@Ramiro Hola Rami! Porque del lado izquierdo te queda:

$\int \cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} \, d \theta + \frac{1}{4}\int e^{-\theta} \cos(2\theta) d \theta = \frac{5}{4} \int e^{-\theta} \cos(2\theta) d \theta$

O sea, hice $1 + 1/4 = 5/4$, por eso :)
Avatar Galit 17 de junio 11:14
Hola una consulta, aca puede ser que falto poner el +c? o no se pone en este caso?
Avatar Flor Profesor 17 de junio 12:30
@Galit Hola Galit! Siiii, me lo comí yo cuando escribí la expresión al final! Como estamos resolviendo una integral indefinida siempre va la constante sumando al final :) Ahí lo editooo, gracias por avisarme!
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