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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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8. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de integración por partes:
f) ∫e−θcos⁡(2θ)dθ\int e^{-\theta} \cos (2 \theta) d \theta

Respuesta

En la clase "Integrales que salen por partes usando algún truquito", vimos cómo resolver las integrales donde tenemos una exponencial multiplicando a una trigonométrica. Si todavía no viste esa clase, te recontra recomiendo que la mires antes de ver ese ejercicio, porque acá vamos a usar los mismos razonamientos que ya charlamos ahí :)

Aclarado esto, vamos a resolver la integral. 

∫e−θcos⁡(2θ)dθ\int e^{-\theta} \cos (2 \theta) d \theta

Aplicamos la fórmula de partes

∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g'

Tomamos:

g=e−θ⇒g′=−e−θ g = e^{-\theta} \Rightarrow g' = -e^{-\theta} f′=cos⁡(2θ)⇒f=12sin⁡(2θ) f' = \cos(2\theta) \Rightarrow f = \frac{1}{2}\sin(2\theta)

Aclaración: Para pasar de f′f' a ff integras por sustitución! 

Reemplazamos en la fórmula de partes

∫cos⁡(2θ)⋅e−θ dθ= 12sin⁡(2θ)⋅e−θ−∫12sin⁡(2θ)⋅(−e−θ)dθ\int \cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} \, d \theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \int \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot (-e^{-\theta}) d \theta

∫cos⁡(2θ)⋅e−θ dθ = 12sin⁡(2θ)⋅e−θ+12∫e−θsin⁡(2θ)dθ\int \cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} \, d \theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} + \frac{1}{2}\int e^{-\theta} \sin(2\theta) d \theta

Ahora para resolver la integral que nos quedó volvemos a aplicar partes, tomando:

g=e−θ⇒g′=−e−θ g = e^{-\theta} \Rightarrow g' = -e^{-\theta} f′=sin⁡(2θ)⇒f=−12cos⁡(2θ) f' = \sin(2\theta) \Rightarrow f = -\frac{1}{2}\cos(2\theta)

De nuevo, esta integral salió por sustitución ;)

Reemplazamos:

∫cos⁡(2θ)⋅e−θ dθ = 12sin⁡(2θ)⋅e−θ+12[−12cos⁡(2θ)⋅e−θ−∫−12cos⁡(2θ)(−e−θ) dθ]\int \cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} \, d \theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} + \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \int -\frac{1}{2}\cos(2\theta) (-e^{-\theta}) \, d \theta\right]

∫cos⁡(2θ)⋅e−θ dθ = 12sin⁡(2θ)⋅e−θ−14cos⁡(2θ)⋅e−θ−14∫e−θcos⁡(2θ)dθ\int \cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} \, d \theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \frac{1}{4}\cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \frac{1}{4}\int e^{-\theta} \cos(2\theta) d \theta

Pasamos la integral sumando para la izquierda

54⋅∫e−θcos⁡(2θ) dθ = 12sin⁡(2θ)⋅e−θ−14cos⁡(2θ)⋅e−θ\frac{5}{4} \cdot \int e^{-\theta} \cos(2\theta) \, d \theta = \frac{1}{2}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \frac{1}{4}\cos(2\theta) \cdot e^{-\theta}

Paso el 54\frac{5}{4} dividiendo y listooo...

∫e−θcos⁡(2θ) dθ = 25sin⁡(2θ)⋅e−θ−15cos⁡(2θ)⋅e−θ+C\int e^{-\theta} \cos(2\theta) \, d \theta = \frac{2}{5}\sin(2\theta) \cdot e^{-\theta} - \frac{1}{5}\cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} + C
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Ramiro
18 de junio 8:19
Hola profe, no entendí al final cuando sumaste las dos integrales cómo hiciste para que sea 5/4 multiplicando
0 Responder
Flor
PROFE
18 de junio 11:24
@Ramiro Hola Rami! Porque del lado izquierdo te queda:

∫cos⁡(2θ)⋅e−θ dθ+14∫e−θcos⁡(2θ)dθ=54 ∫e−θcos⁡(2θ)dθ\int \cos(2\theta) \cdot e^{-\theta} \, d \theta + \frac{1}{4}\int e^{-\theta} \cos(2\theta) d \theta = \frac{5}{4} \int e^{-\theta} \cos(2\theta) d \theta

O sea, hice 1+1/4=5/41 + 1/4 = 5/4, por eso :)
0 Responder
Galit
17 de junio 11:14
Hola una consulta, aca puede ser que falto poner el +c? o no se pone en este caso?
0 Responder
Flor
PROFE
17 de junio 12:30
@Galit Hola Galit! Siiii, me lo comí yo cuando escribí la expresión al final! Como estamos resolviendo una integral indefinida siempre va la constante sumando al final :) Ahí lo editooo, gracias por avisarme!
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