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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
9.
Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
c) $\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$
c) $\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$
Respuesta
Ahora vamos a resolver la integral
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$\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x$
¿Parece haber una sustitución que nos encaja perfecto, no? Si tomamos:
$u = \ln(x)$
$du = \frac{1}{x} dx$
Entonces nuestra integral se transforma en:
$\int \frac{\ln(\ln(x))}{x} dx = \int \ln(u) \, du$
Ahora tenemos una nueva integral en términos de $u$:
$\int \ln(u) \, du$
Y esta integral se puede resolver por integración por partes, la vimos en la clase de "Integrales que salen por partes usando algún truquito". Vamos a resolverla como hicimos ahí:
Reescribimos primero nuestra integral como
$\int 1 \cdot \ln(u) d u$
Aplicamos partes:
$\int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $
Tomamos
$ g = \ln(u) \Rightarrow g' = \frac{1}{u}$
$ f' = 1 \Rightarrow f = u$
Reemplazamos:
$\int \ln(u) d u = u \ln(u) - \int \frac{1}{u} \cdot u \, du$
$\int \ln(u) d u = u \ln(u) - \int 1 \, du$
$\int \ln(u) d u = u \ln(u) - u + C$
Ahora reemplazamos $u$ por $\ln(x)$ para regresar a la variable original:
$\int \ln(u) \, du = \ln(x) \ln(\ln(x)) - \ln(x) + C$
Listooo, ya tenemos el resultado de nuestra integral :)
$\int \frac{\ln (\ln (x))}{x} d x = \ln(x) \ln(\ln(x)) - \ln(x) + C$