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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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9. Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
d) $\int e^{\sqrt{x}} d x$

Respuesta

Cuando yo veo una integral así:

$\int e^{\sqrt{x}} d x$

la realidad es que muchas opciones no tenemos. Tomemos la sustitución $u = \sqrt{x}$ y veamos qué pasa:

$u = \sqrt{x}$

$du = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \, dx \Rightarrow dx = 2 \sqrt{x} \, du = 2 \, u \, du$
Ahora reescribimos la integral en términos de $u$: $\int e^{\sqrt{x}} dx = \int e^u \cdot 2 \, u \, du = 2 \int e^u \, u \, du$ Y respiramos tranqui, porque llegamos a una integral que sabemos resolver usando partes! $\int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $ Tomamos: $f' = e^u \Rightarrow f = e^u$
$g = u \Rightarrow g' = 1$ Aplicamos la fórmula de integración por partes: $2 \int e^u \cdot u \, du = 2 \cdot [e^u \cdot u - \int e^u \, du]$
$2 \int e^u \cdot u \, du = 2 \cdot [e^u \cdot u - e^u]$ 

Ahora, volvemos a la variable original $x$, de paso hago la distributiva del $2$, agregamos la constante y nos queda: $\int e^{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} - 2e^{\sqrt{x}} + C$
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Avatar angeles 17 de junio 20:20
hola profe todo bien? no logro entender bien como llegaste a reescribir al du asi, o sea entiendo que el denominador lo pasaste multiplicando y ahi quede jajaja
Avatar Flor Profesor 17 de junio 21:12
@angeles Hola Angeles! Fijate que a nosotros nos queda que:

$du = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \, dx$

Entonces, si despejamos el $dx$ nos queda que lo podemos escribir así:

$dx = 2 \sqrt{x} \, du$

(los pasé multiplicando)

Entonces ahora vuelvo a la integral y donde dice $dx$ escribo eso:

$\int e^{\sqrt{x}} dx = \int e^u \cdot 2 \, \sqrt{x} \, du$

y fijate que $\sqrt{x}$ es $u$, así que ese $\sqrt{x}$ que nos quedó ahí lo escribimos como $u$ y por eso nos queda:

$\int e^{\sqrt{x}} dx = \int e^u \cdot 2 \, u \, du$

Se ve mejor ahora?

Avatar angeles 18 de junio 20:45
aa claro, no me di cuenta que era u, gracias <3
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