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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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9. Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
e) ∫x2arctan⁡(3x)dx\int x^{2} \arctan (3 x) d x

Respuesta

Esta es un poquito más difícil que las que venimos haciendo, pero va a salir, mirá:

¿Esto en principio tiene pinta de aplicar partes, no?
∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′  \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' 

Acordate que nosotrxs sabemos derivar arctan⁡(x)\arctan(x), así que vamos a elegir a esta como gg, y al polinomio lo integramos: f′=x2⇒f=x33 f' = x^{2} \Rightarrow f = \frac{x^{3}}{3}
g=arctan⁡(3x)⇒g′=31+(3x)2=31+9x2 g = \arctan(3x) \Rightarrow g' = \frac{3}{1+(3x)^{2}} = \frac{3}{1+9x^{2}}

Aclaración: Para esta última derivada acordate que la derivada de tabla es

(arctan⁡(x))′=11+x2(\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}

y aplicás regla de la cadena para resolver la nuestra.
Ahora si, aplicamos partes: ∫x2arctan⁡(3x)dx=(x33)arctan⁡(3x)−∫(x33)(31+9x2)dx \int x^{2} \arctan(3x) dx = \left(\frac{x^{3}}{3}\right) \arctan(3x) - \int \left(\frac{x^{3}}{3}\right) \left(\frac{3}{1+9x^{2}}\right) dx Simplificamos: ∫x2arctan⁡(3x)dx=x33arctan⁡(3x)−∫x31+9x2dx \int x^{2} \arctan(3x) dx = \frac{x^{3}}{3} \arctan(3x) - \int \frac{x^{3}}{1+9x^{2}} dx

Y acá para mi aparece otro obstáculo en este problema, que es justamente cómo resolvemos esta integral. Vamos a verla despacito: Si tomamos la sustitución:

u=1+9x2u = 1 + 9x^{2}

du=18 x dx⇒du18=x dxdu = 18 \, x \, dx \Rightarrow \frac{du}{18} = x \, dx

Entonces, tratemos de escribir nuestra integral en términos de uu

∫x31+9x2dx=∫ x2⋅x1+9x2dx=∫x2u du18\int \frac{x^{3}}{1+9x^{2}} dx = \int \frac{x^{2} \cdot x}{1+9x^{2}} dx = \int \frac{x^2}{u} \, \frac{du}{18}

¿Y qué hacemos con ese x2x^2? Fijate que tenemos esta relación entre xx y uu

u=1+9x2u = 1 + 9x^{2}

Si despejamos de acá x2x^2 nos queda

x2=u−19x^2 = \frac{u-1}{9}

Reemplazamos:

∫x2u du18= 118∫u−19u du= 118∫u−19u =1162∫u−1udu\int \frac{x^2}{u} \, \frac{du}{18} = \frac{1}{18}\int \frac{\frac{u-1}{9}}{u} \, du = \frac{1}{18}\int \frac{u-1}{9u} = \frac{1}{162} \int \frac{u-1}{u} du

Ahora distribuimos ese denominador y nos quedan dos integrales que sabemos resolver :)
 1162∫u−1udu =1162∫(1−1u)du=1162(u−ln⁡∣u∣) \frac{1}{162} \int \frac{u-1}{u} du = \frac{1}{162} \int \left(1 - \frac{1}{u}\right) du = \frac{1}{162} \left(u - \ln|u|\right)
Regresamos a la variable original xx: 1162(u−ln⁡∣u∣)=1162(1+9x2−ln⁡∣1+9x2∣) \frac{1}{162} \left(u - \ln|u|\right) = \frac{1}{162} \left(1 + 9x^{2} - \ln|1 + 9x^{2}|\right) Y listooo, volvemos entonces a nuestra integral que estábamos haciendo por partes y reemplazamos este resultado:

∫x2arctan⁡(3x)dx=x33arctan⁡(3x)−∫x31+9x2dx \int x^{2} \arctan(3x) dx = \frac{x^{3}}{3} \arctan(3x) - \int \frac{x^{3}}{1+9x^{2}} dx  
∫x2arctan⁡(3x)dx=x33arctan⁡(3x)−1162(1+9x2−ln⁡(1+9x2))+C \int x^{2} \arctan(3x) dx = \frac{x^{3}}{3} \arctan(3x) - \frac{1}{162} \left(1 + 9x^{2} - \ln(1 + 9x^{2})\right) + C
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