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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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9. Utilizando los métodos de integración vistos hasta ahora en combinación con identidades trigonométricas, calcule
f) ∫cos⁡2(ln⁡(x))dx\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x

Respuesta

Ahora vamos a resolver esta integral

∫cos⁡2(ln⁡(x))dx\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x

Una manera de arrancar esta integral para facilitarla un poco, es acordarse que a cos⁡2(x)\cos^2(x) lo podemos reescribir de esta manera:

cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)

cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−(1−cos⁡2(x))\cos(2x) = \cos^2(x) - (1 - \cos^2(x))

cos⁡(2x)=2⋅cos⁡2(x)−1\cos(2x) = 2 \cdot \cos^2(x) - 1

Y despejando:

cos⁡2(x)=cos⁡(2x)+12\cos^2(x) = \frac{\cos(2x) + 1}{2}

Reemplazamos esto en nuestra integral:

∫cos⁡2(ln⁡(x))dx= ∫ cos⁡(2ln⁡(x))+12 dx\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x = \int \frac{\cos(2 \ln(x)) + 1}{2} d x

Ojo que acá no estoy haciendo ninguna sustitución todavia, solamente reescribi cos⁡2\cos^2 de una manera que, para mi, va a ser más conveniente para ahora si arrancar a encarar la resolución de esta integral. Ahora podemos dividir esta integral en dos:

∫ cos⁡(2ln⁡(x))+12 dx= 12∫dx+12∫cos⁡(2ln⁡(x))dx= 12x+12∫cos⁡(2ln⁡(x))dx\int \frac{\cos(2 \ln(x)) + 1}{2} d x = \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos(2\ln(x)) dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \int \cos(2\ln(x)) dx

Y ahora si vamos a focalizarnos en resolver esta integral en un cálculo auxiliar:

∫cos⁡(2ln⁡(x))dx\int \cos(2\ln(x)) dx

Muchas opciones no tenemos, probemos de tomar la sustitución u=ln⁡(x)u = \ln(x) y veamos a dónde nos lleva

u=ln⁡(x)u = \ln(x)

du=1xdx⇒dx=x dudu = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \, du

Reemplazamos en nuestra integral

∫cos⁡(2ln⁡(x))dx=∫cos⁡(2u)x du\int \cos(2\ln(x)) dx = \int \cos(2u) x \, du

¿Y como escribimos esa xx? Fijate que a partir de esta relación podemos escribir xx en términos de uu

u=ln⁡(x)u = \ln(x)

Aplicando la exponencial ee en ambos miembros:

eu=xe^u = x

Reemplazamos:

cos⁡(2ln⁡(x))dx=∫cos⁡(2u)⋅x du=∫ cos⁡(2u)⋅eu du\cos(2\ln(x)) dx = \int \cos(2u) \cdot x \, du = \int \cos(2u) \cdot e^u \, du

Y esta integral sale por partes, acordate que en la clase "Integrales que salen por partes usando algún truquito" vimos cómo integrar cuando tenemos una trigonométrica por una exponencial. Hacemos eso:

∫f′⋅g=f⋅g−∫f⋅g′ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' Tomamos: g=eu⇒g′=eu g = e^u \Rightarrow g' = e^u f′=cos⁡(2u)⇒f=12sin⁡(2u) f' = \cos(2u) \Rightarrow f = \frac{1}{2}\sin(2u) Ahora reemplazamos en la fórmula de partes: ∫cos⁡(2u)⋅eu du=12sin⁡(2u)⋅eu−∫12sin⁡(2u)⋅eudu\int \cos(2u) \cdot e^u \, du = \frac{1}{2}\sin(2u) \cdot e^u - \int \frac{1}{2}\sin(2u) \cdot e^u du Ahora para resolver la integral que nos quedó volvemos a aplicar partes, tomando: g=eu⇒g′=eu g = e^u \Rightarrow g' = e^u f′=sin⁡(2u)⇒f=−12cos⁡(2u) f' = \sin(2u) \Rightarrow f = -\frac{1}{2}\cos(2u) Reemplazamos: ∫cos⁡(2u)⋅eu du=12sin⁡(2u)⋅eu−12[−12cos⁡(2u)⋅eu−∫−12cos⁡(2u)⋅eu du]\int \cos(2u) \cdot e^u \, du = \frac{1}{2}\sin(2u) \cdot e^u - \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2u) \cdot e^u - \int -\frac{1}{2}\cos(2u) \cdot e^u \, du\right]
∫cos⁡(2u)⋅eu du=12sin⁡(2u)⋅eu+14cos⁡(2u)⋅eu−14∫eucos⁡(2u)du\int \cos(2u) \cdot e^u \, du = \frac{1}{2}\sin(2u) \cdot e^u + \frac{1}{4}\cos(2u) \cdot e^u - \frac{1}{4}\int e^u \cos(2u) du Pasamos la integral sumando para la izquierda: 54∫eucos⁡(2u) du=12sin⁡(2u)⋅eu+14cos⁡(2u)⋅eu\frac{5}{4} \int e^u \cos(2u) \, du = \frac{1}{2}\sin(2u) \cdot e^u + \frac{1}{4}\cos(2u) \cdot e^u  

Pasamos el 54\frac{5}{4} dividiendo y ya estamos:

∫eucos⁡(2u) du=25sin⁡(2u)⋅eu+15cos⁡(2u)⋅eu+C\int e^u \cos(2u) \, du = \frac{2}{5}\sin(2u) \cdot e^u + \frac{1}{5}\cos(2u) \cdot e^u + C  

Y ahora acordate que esto era un cálculo auxiliar! Tenemos que volver a nuestra integral y reemplazamos este resultado que obtuvimos, pero no te olvides de escribirlo en términos de xx, usando u=ln⁡(x)u = \ln(x) y eu=xe^u =x

∫cos⁡2(ln⁡(x))dx= ∫ cos⁡(2ln⁡(x))+12 dx= 12∫dx+12∫cos⁡(2ln⁡(x))dx\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x = \int \frac{\cos(2 \ln(x)) + 1}{2} d x = \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos(2\ln(x)) dx

∫cos⁡2(ln⁡(x))dx= 12x+12∫cos⁡(2ln⁡(x))dx\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x= \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \int \cos(2\ln(x)) dx

∫cos⁡2(ln⁡(x))dx = 12x+ 25sin⁡(2ln⁡(x))⋅x+15cos⁡(2ln⁡(x))⋅x+C\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x = \frac{1}{2}x + \frac{2}{5}\sin(2\ln(x)) \cdot x + \frac{1}{5}\cos(2\ln(x)) \cdot x + C

Uffff, terminamos... creo que esta fue la peor de esta tanda jaja 🥴
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New
18 de junio 21:04
Profe en la práctica aparece cos(ln(x)) envés de cos2(…..) se resuelve igual?
0 Responder
Flor
PROFE
19 de junio 8:31
@New Hola! Uy, este también lo cambiaron 😭 

Si la integral que aparece es esta: 

∫cos⁡(ln(x)) dx\int \cos(ln(x)) \, dx

entonces no es necesario usar ya la identidad trigonométrica. Esta integral sale tomando la sustitución 

u=ln⁡(x)u = \ln(x)

du=1x dxdu = \frac{1}{x} \, dx

Fijate que entonces dx=x dudx = x \, du

Y usando la relación u=ln⁡(x)u = \ln(x), entonces si despejás xx aplicando la exponencial ee en ambos miembros, te queda que x=eux = e^u, por lo tanto...

dx=eu dudx = e^u \, du

Entonces cuando reemplazas en tu integral:

∫cos⁡(ln(x)) dx=∫cos⁡(u)⋅eu du\int \cos(ln(x)) \, dx = \int \cos(u) \cdot e^u \, du

y esta integral ya sale por partes (vimos cómo resolverlas en la clase "Integrales que salen por partes usando algún truquito")
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21 de junio 2:42
gracias
0 Responder
angeles
17 de junio 20:48
profe cos(2x) es lo mismo que cos^2(x)? o porque lo pusiste asi en el primer paso?
0 Responder
Flor
PROFE
17 de junio 21:14
@angeles Nono ojo, la identidad es esta:

cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)

Entonces de acá despejé cos⁡2(x)\cos^2(x) y te queda escrito así:

cos⁡2(x)=cos⁡(2x)+12\cos^2(x) = \frac{\cos(2x) + 1}{2}
0 Responder
angeles
18 de junio 20:47
perdon profe, porque es asi la identidad? o sea porque es = a cos(2x)?
0 Responder