$\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x$

Una manera de arrancar esta integral para facilitarla un poco, es acordarse que a $\cos^2(x)$ lo podemos reescribir de esta manera:

$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$

$\cos(2x) = \cos^2(x) - (1 - \cos^2(x))$

$\cos(2x) = 2 \cdot \cos^2(x) - 1$

Y despejando:

$\cos^2(x) = \frac{\cos(2x) + 1}{2}$

Reemplazamos esto en nuestra integral:

$\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x = \int \frac{\cos(2 \ln(x)) + 1}{2} d x$

Ojo que acá no estoy haciendo ninguna sustitución todavia, solamente reescribi $\cos^2$ de una manera que, para mi, va a ser más conveniente para ahora si arrancar a encarar la resolución de esta integral. Ahora podemos dividir esta integral en dos:

$\int \frac{\cos(2 \ln(x)) + 1}{2} d x = \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos(2\ln(x)) dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \int \cos(2\ln(x)) dx$

Y ahora si vamos a focalizarnos en resolver esta integral en un cálculo auxiliar:

$\int \cos(2\ln(x)) dx$

Muchas opciones no tenemos, probemos de tomar la sustitución $u = \ln(x)$ y veamos a dónde nos lleva

$u = \ln(x)$

$du = \frac{1}{x} dx \Rightarrow dx = x \, du$

Reemplazamos en nuestra integral

$\int \cos(2\ln(x)) dx = \int \cos(2u) x \, du$

¿Y como escribimos esa $x$? Fijate que a partir de esta relación podemos escribir $x$ en términos de $u$

$u = \ln(x)$

Aplicando la exponencial $e$ en ambos miembros:

$e^u = x$

Reemplazamos:

$\cos(2\ln(x)) dx = \int \cos(2u) \cdot x \, du = \int \cos(2u) \cdot e^u \, du$

Y esta integral sale por partes, acordate que en la clase "Integrales que salen por partes usando algún truquito" vimos cómo integrar cuando tenemos una trigonométrica por una exponencial. Hacemos eso:

$ \int f' \cdot g = f \cdot g - \int f \cdot g' $ Tomamos: $ g = e^u \Rightarrow g' = e^u $ $ f' = \cos(2u) \Rightarrow f = \frac{1}{2}\sin(2u) $ Ahora reemplazamos en la fórmula de partes: $\int \cos(2u) \cdot e^u \, du = \frac{1}{2}\sin(2u) \cdot e^u - \int \frac{1}{2}\sin(2u) \cdot e^u du $ Ahora para resolver la integral que nos quedó volvemos a aplicar partes, tomando: $ g = e^u \Rightarrow g' = e^u $ $ f' = \sin(2u) \Rightarrow f = -\frac{1}{2}\cos(2u) $ Reemplazamos: $\int \cos(2u) \cdot e^u \, du = \frac{1}{2}\sin(2u) \cdot e^u - \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2u) \cdot e^u - \int -\frac{1}{2}\cos(2u) \cdot e^u \, du\right] $

$\int \cos(2u) \cdot e^u \, du = \frac{1}{2}\sin(2u) \cdot e^u + \frac{1}{4}\cos(2u) \cdot e^u - \frac{1}{4}\int e^u \cos(2u) du $ Pasamos la integral sumando para la izquierda: $\frac{5}{4} \int e^u \cos(2u) \, du = \frac{1}{2}\sin(2u) \cdot e^u + \frac{1}{4}\cos(2u) \cdot e^u $ 

Pasamos el $\frac{5}{4}$ dividiendo y ya estamos:

$\int e^u \cos(2u) \, du = \frac{2}{5}\sin(2u) \cdot e^u + \frac{1}{5}\cos(2u) \cdot e^u + C$  

Y ahora acordate que esto era un cálculo auxiliar! Tenemos que volver a nuestra integral y reemplazamos este resultado que obtuvimos, pero no te olvides de escribirlo en términos de $x$, usando $u = \ln(x)$ y $e^u =x$

$\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x = \int \frac{\cos(2 \ln(x)) + 1}{2} d x = \frac{1}{2} \int dx + \frac{1}{2} \int \cos(2\ln(x)) dx $

$\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x= \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \int \cos(2\ln(x)) dx $

$\int \cos ^{2}(\ln (x)) d x = \frac{1}{2}x + \frac{2}{5}\sin(2\ln(x)) \cdot x + \frac{1}{5}\cos(2\ln(x)) \cdot x + C$

Uffff, terminamos... creo que esta fue la peor de esta tanda jaja 🥴