Igual primero arranquemos escribiendo los primeros términos de la serie: Para \(n = 0\): $\frac{7}{4^0} = 7$ Para \(n = 1\): $\frac{7}{4^1} = \frac{7}{4}$ Para \(n = 2\): $\frac{7}{4^2} = \frac{7}{16}$ Para \(n = 3\): $\frac{7}{4^3} = \frac{7}{64}$ Entonces, los primeros términos de la serie son:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7}{4^{n}} = 7 + \frac{7}{4} + \frac{7}{16} + \frac{7}{64} + \ldots$

Ahora, fijate que nos piden calcular la suma. Automáticamente pensamos en serie geométrica, de la cual sabemos calcular su suma, entonces vamos a intentar reescribir un poco la serie para que resulte obvio cómo hacerlo. La serie que tenemos la podemos reescribir así:

$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7}{4^n} = 7 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n $ Sabemos que la suma de una serie geométrica \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n\) es \(\frac{1}{1-r}\) siempre y cuando \(|r| < 1\). En nuestro caso, \(r = \frac{1}{4}\), que cumple con \(|r| < 1\). Entonces, podemos calcular la suma de la serie: $ \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} $ Ahora, no te olvides que teníamos un $7$ multiplicando que había salido afuera de la serie: $ 7 \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^n = 7 \cdot \frac{4}{3} = \frac{28}{3} $ Por lo tanto, la suma de la serie \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7}{4^n}\) es \(\frac{28}{3}\).