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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
1.
Escribir los primeros términos de cada una de estas series y calcular su suma:
b) \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}}\)
b) \(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}}\)
Respuesta
La serie que nos dan es:
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$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}} $
Veamos los primeros términos de esta serie:
Para \( n = 2 \): \(\frac{(-1)^{2}}{3^{2}} = \frac{1}{9}\)
Para \( n = 3 \): \(\frac{(-1)^{3}}{3^{3}} = -\frac{1}{27}\)
Para \( n = 4 \): \(\frac{(-1)^{4}}{3^{4}} = \frac{1}{81}\)
Para \( n = 5 \): \(\frac{(-1)^{5}}{3^{5}} = -\frac{1}{243}\)
Entonces, los primeros términos de la serie son:
$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}} = \frac{1}{9} -\frac{1}{27} + \frac{1}{81} -\frac{1}{243} + \ldots$
Ahora, vamos a reescribir la serie para que resulte obvio quién es el $r$ en esta serie geométrica:
$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n $
Como $|r| = \frac{1}{3} < 1$, entonces vamos a poder calcular su suma. Pero atenti, esta serie empieza en $n=2$ y nosotrxs sabemos calcular la suma desde $n = 0$
$ \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n = \frac{1}{1- (-\frac{1}{3})} = \frac{3}{4}$
Así que, para resolver esta cuestión, vamos a hacerlo como vimos en la clase de Serie geométrica :)
$ \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n = \frac{3}{4} $
$ (-\frac{1}{3})^0 + (-\frac{1}{3})^1 + \sum_{n=2}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n = \frac{3}{4} $
$ 1 -\frac{1}{3} + \sum_{n=2}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n = \frac{3}{4} $
Despejamos la serie:
$\sum_{n=2}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n = \frac{3}{4} - 1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{12} $
Por lo tanto, la suma de la serie \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}} \) es \(\frac{1}{12}\).