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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 9 - Series

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1. Escribir los primeros términos de cada una de estas series y calcular su suma:
b) ∑n=2∞(−1)n3n\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}}

Respuesta

La serie que nos dan es:
∑n=2∞(−1)n3n \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}} Veamos los primeros términos de esta serie: Para n=2 n = 2 : (−1)232=19\frac{(-1)^{2}}{3^{2}} = \frac{1}{9} Para n=3 n = 3 : (−1)333=−127\frac{(-1)^{3}}{3^{3}} = -\frac{1}{27} Para n=4 n = 4 : (−1)434=181\frac{(-1)^{4}}{3^{4}} = \frac{1}{81} Para n=5 n = 5 : (−1)535=−1243\frac{(-1)^{5}}{3^{5}} = -\frac{1}{243} Entonces, los primeros términos de la serie son:

∑n=2∞(−1)n3n= 19−127+181−1243+…\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}} = \frac{1}{9} -\frac{1}{27} + \frac{1}{81} -\frac{1}{243} + \ldots

Ahora, vamos a reescribir la serie para que resulte obvio quién es el rr en esta serie geométrica:

∑n=2∞(−1)n3n=∑n=2∞(−13)n \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}} = \sum_{n=2}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n

Como ∣r∣=13<1|r| = \frac{1}{3} < 1, entonces vamos a poder calcular su suma. Pero atenti, esta serie empieza en n=2n=2 y nosotrxs sabemos calcular la suma desde n=0n = 0

∑n=0∞(−13)n=11−(−13)=34 \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n = \frac{1}{1- (-\frac{1}{3})} = \frac{3}{4}

Así que, para resolver esta cuestión, vamos a hacerlo como vimos en la clase de Serie geométrica :)

∑n=0∞(−13)n= 34 \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n =  \frac{3}{4}

(−13)0+(−13)1+∑n=2∞(−13)n= 34 (-\frac{1}{3})^0 + (-\frac{1}{3})^1 + \sum_{n=2}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n =  \frac{3}{4}

1 −13 +∑n=2∞(−13)n= 34 1 -\frac{1}{3} + \sum_{n=2}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n =  \frac{3}{4}

Despejamos la serie:

∑n=2∞(−13)n= 34−1+ 13= 112\sum_{n=2}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n =  \frac{3}{4} - 1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{12}

Por lo tanto, la suma de la serie ∑n=2∞(−1)n3n \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}} es 112\frac{1}{12}.
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