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Análisis Matemático 66
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA
1.
Escribir los primeros términos de cada una de estas series y calcular su suma:
c) \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right)\)
c) \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right)\)
Respuesta
Primero escribamos los primeros términos de la serie:
$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right) = \left(\frac{5}{2^1} - \frac{2}{7^1}\right) + \left(\frac{5}{2^2} - \frac{2}{7^2}\right) + \left(\frac{5}{2^3} - \frac{2}{7^3}\right) + \cdots $
Nos quedaría así:
$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right) = \left(\frac{5}{2} - \frac{2}{7}\right) + \left(\frac{5}{4} - \frac{2}{49}\right) + \left(\frac{5}{8} - \frac{2}{343}\right) + \cdots$
Ahora juntamos estos resultados y la suma nos quedó así :)
$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right) = 5 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n = 5 \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{14}{3} $
Reportar problema
Ahora vamos a lo interesante, calculemos la suma de esta serie. Lo más importante acá es darse cuenta que podemos separar la serie en dos series geométricas:
$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{7^n} = 5 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n$
Ahora vamos a calcular la suma de cada serie geométrica que nos quedó.
Arrancamos con la primera, $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$
Sabemos que:
$
\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2
$
Pero nuestra serie empieza en \(n = 1\), así que restamos el primer término:
$
1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2
$
$
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2 - 1 = 1
$
Seguimos ahora con la otra serie, $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n$
Sabemos que:
$
\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{7}{6}
$
Pero nuestra serie empieza en \(n = 1\), así que restamos el primer término:
$
1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n = \frac{7}{6}
$
$
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}
$
Por lo tanto, la serie \(\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right)\) converge a \(\frac{14}{3}\).