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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 9 - Series

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1. Escribir los primeros términos de cada una de estas series y calcular su suma:
c) ∑n=1∞(52n−27n)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right)

Respuesta

Primero escribamos los primeros términos de la serie: ∑n=1∞(52n−27n)=(521−271)+(522−272)+(523−273)+⋯\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right) = \left(\frac{5}{2^1} - \frac{2}{7^1}\right) + \left(\frac{5}{2^2} - \frac{2}{7^2}\right) + \left(\frac{5}{2^3} - \frac{2}{7^3}\right) + \cdots Nos quedaría así: ∑n=1∞(52n−27n)=(52−27)+(54−249)+(58−2343)+⋯\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right) = \left(\frac{5}{2} - \frac{2}{7}\right) + \left(\frac{5}{4} - \frac{2}{49}\right) + \left(\frac{5}{8} - \frac{2}{343}\right) + \cdots

Ahora vamos a lo interesante, calculemos la suma de esta serie. Lo más importante acá es darse cuenta que podemos separar la serie en dos series geométricas: ∑n=1∞(52n−27n)=∑n=1∞52n−∑n=1∞27n= 5∑n=1∞(12)n− 2∑n=1∞(17)n\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{2^n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{7^n} = 5 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n

Ahora vamos a calcular la suma de cada serie geométrica que nos quedó. 

Arrancamos con la primera, ∑n=1∞(12)n\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n
Sabemos que: ∑n=0∞(12)n=11−12=2 \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 Pero nuestra serie empieza en n=1n = 1, así que restamos el primer término: 1+∑n=1∞(12)n=2 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2 ∑n=1∞(12)n=2−1=1 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2 - 1 = 1
Seguimos ahora con la otra serie, ∑n=1∞(17)n\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n

Sabemos que: ∑n=0∞(17)n=11−17=76 \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{7}} = \frac{7}{6} Pero nuestra serie empieza en n=1n = 1, así que restamos el primer término: 1+∑n=1∞(17)n=76 1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n = \frac{7}{6} ∑n=1∞(17)n=76−1=16 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}  

Ahora juntamos estos resultados y la suma nos quedó así :) ∑n=1∞(52n−27n)=5∑n=1∞(12)n− 2∑n=1∞(17)n=  5⋅1−2⋅16=143 \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right) = 5 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n - 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{7}\right)^n =  5 \cdot 1 - 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{14}{3}  

Por lo tanto, la serie ∑n=1∞(52n−27n)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{2}{7^{n}}\right) converge a 143\frac{14}{3}.
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