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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 9 - Series

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4. Utilizando el criterio que juzgue más adecuado, decida si las siguientes series son convergentes o divergentes:
c) \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1}\)

Respuesta

En este caso queremos ver si la serie $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1} $ converge o diverge. En primer lugar, chequeamos que efectivamente cumple con la condición necesaria de convergencia (el término general tiende a cero), así que tenemos que desplegar nuestras herramientas para series positivas para ver si converge o no. En este caso, como vimos en la clase, vamos a arrancar primero entendiendo que nuestra serie, cuando \(n\) sea muuuuuy grande, se va a comportar como: $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{2}+1} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $
Aclaración recontra mega importante: Esto no lo escribas en el parcial. En recontra informal, yo te lo escribo así para que vos entiendas por qué elegimos esta serie para compararla y por qué sospechamos que se comportará como la nuestra. Ustedes esto si quieren se lo escriben sólo en su hoja borrador, pero en la hoja del parcial ponen directamente algo así como:
Sospecho que esta serie se va a comportar igual que \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\), que es una serie que sabemos que diverge por ser una serie \(p\) con \(p \leq 1\). Entonces, vamos a comparar nuestra serie con \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) usando el criterio de comparación vía límite: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{n^{2}+1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^2+1} \cdot \frac{n}{1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+1} = 1 $ Como el resultado del límite nos dio \(>0\), entonces el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie diverge.
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Avatar angeles 3 de julio 20:48
profe, se que es re boludo pero me trabe con la condicion necesaria jajaja yo se que tengo que hacer el limite y tambien se que da 0 por lo de los grados, pero cuando quiero hacerlo, abajo saco factor comun la n o n cuadrado?, y despues de eso? no se si me podes ayudar con eso porfa tengo que refrescarlo
Avatar Flor Profesor 4 de julio 13:10
@angeles Jajaja tranqui, son muchos temas xD En estos casos hay que sacar factor común "el que manda", así que tenés que sacar factor común $n^2$ en el denominador. Fijate que entonces una de esas $n$ se te va a cancelar con la $n$ del numerador, y te va a quedar un 1 en el numerador y el denominador tendiendo a infinito :)
Avatar angeles 4 de julio 19:17
sii pude verlo, muchas gracias
Avatar Harun 2 de julio 10:17
Consulta cuando utilizo el criterio de comparación directa y cuando el criterio de comparación por paso al límite?
Avatar Harun 2 de julio 10:35
Osea mi duda está también en que resolví el ejercicio por el criterio de comparación directa y también me dio que diverge por eso hago la pregunta anterior
Avatar Flor Profesor 2 de julio 16:28
@Harun Hola Harun! En realidad muchas veces se pueden utilizar cualquiera de los dos! A veces hay uno que es más directo que el otro, pero otras veces es indistinto... Yo por lo general, a menos que esté muuuuy regalado para hacer comparación, vas a ver que prefiero usar el vía límite porque siento que hay menos chance de confundirse 
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