En este caso queremos ver si la serie $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{n^{3}} $ converge o diverge. Vamos a arrancar primero entendiendo que nuestra serie, cuando \(n\) sea muuuuuy grande, se va a comportar como: $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{n^{3}} \approx \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} $ Acordate que raíz enésima de polinomio de grado finito (como lo es $\sqrt[n]{n}$), cuando $n \rightarrow \infty$ tiende a $1$ Entonces decimos que: Sospecho que esta serie se va a comportar igual que \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}\), que es una serie que sabemos que converge por ser una serie \(p\) con \(p > 1\). Entonces, vamos a comparar nuestra serie con \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}}\) usando el criterio de comparación vía límite: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt[n]{n}}{n^{3}}}{\frac{1}{n^{3}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{n^{3}} \cdot n^{3} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1 $ Como el resultado del límite nos dio \(>0\), entonces el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge.