Producto escalar (o interno)

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En esta clase vamos a estar viendo una de las operaciones más importantes que vamos a poder hacer entre vectores: el producto escalar o interno. 

⏱️ En el arranque de la clase vamos a aprender qué es el producto escalar y cómo calcularlo. Además, vamos a entender por qué el producto escalar nos va a ayudar a conocer el ángulo que forman dos vectores y, en particular, cómo nos ayuda a darnos cuenta si dos vectores son perpendiculares (ortogonales) -> esto vale oro! ✨

⏱️ Minuto 05:14 -> Calculamos algunos productos escalares (Ejercicio 10 de la guía)

⏱️ Minuto 11:53 -> Hallamos el ángulo que forman dos vectores (Ejercicio 14 de la guía)

⏱️ Minuto 20:03 -> Encontramos vectores perpendiculares a otros dados (Ejercicio 13 de la guía)

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Avatar Caro Hace 15 horas
Holis Flor, quería preguntarte si está bien la resolución del ejercicio del punto 2) del min 11:55.
Calculé directamente todo en la fórmula 

2025-08-14%2020:01:32_9867122.png
Avatar Caro Hace 15 horas
Flor una pregunta, en el min 17:04 mencionás que hay que repasar trigonométricas, pero al principio del curso dijiste que recién lo veíamos en el 2do parcial. Estoy un poco mareada D:
Avatar Ximena 13 de abril 18:42
buenas profe en la clase nos dejaron ejerciocios parecidos a los de las guias pero me estaría costando traducir el enunciado para saber bien que es lo que me piden 

 Clase 2
 1. Determinar todos los valores de k R tales que d(A,B) = 5, si A = ( 1,0,k) y B =(3,k,3).
 2. Dados A = (1, 2,3), B = (2,3,5) y P = (4,a, 1), hallar a R para que el tri´angulo ABP sea rect´angulo en B.

este es el enunciado
Avatar Flor Profesor 14 de abril 08:34
@ximena Hola Xime! Vamos con el primero

-> Fijate que te dan dos puntos $A$ y $B$, que dependen de un parámetro $k$, y sabemos que la distancia entre esos dos puntos tiene que ser exactamente $5$... Te acordás cómo calculamos la distancia entre dos puntos $A$ y $B$? Nos construimos el vector que une $A$ y $B$ (podemos hacer $A-B$ o $B-A$, es lo mismo) y después le calculamos el módulo a ese vector. En este caso nos quedaría

$A - B = (2,k,3-k)$

Y ahora le calculamos el módulo, que va a ser exactamente la distancia $d$ entre $A$ y $B$ 

$d = |A-B| = \sqrt{2^2 + k^2 + (3-k)^2}$

Si igualamos esa distancia a $5$, nos queda una ecuación para resolver y despejar $k$ :)

Pista -> Vas a tener que reescribir ese $(3-k)^2$ abriendo el cuadrado con la fórmula del cuadrado del binomio, esta:

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Avisame si quedó claro el razonamiento y probá de despejarla, te va a terminar quedando hacia el final una cuadrática igualada a cero y cuando apliques la resolvente llegas a dos valores de $k$ que no se ven muy amigables jaja pero son esos 😅 Avisame si te salió el despeje, sino lo seguimos charlando! 

-> Con respecto al segundo, acá en el curso yo resolví un ejercicio que es relativamente parecido, está acá mismo en la parte de Álgebra vectorial en Álgebra vectorial -> Rectas -> Ejercicio integrador: Rectas y triángulos 

Fijate que en ese problema también tenemos tres puntos, donde uno de los puntos depende de un parámetro. En el caso de este problema es el parámetro $a$ que aparece en el punto $P$, y en el otro problema que yo resolví es $\lambda$ (porque ese punto pertenecia a una recta) Avisame si viendo esa resolución te ayuda a destrabarte para arrancar este ejercicio! Cualquier cosa avisame :)
Avatar Brenda 8 de marzo 23:17
Hola, una consulta. En el ej 13 punto a, ¿Cómo afectan los signos en las coordenadas del vector v? Ambas tienen una coordenada negativa, ¿esto significa que el vector v tiene sentido opuesto? 
Avatar Flor Profesor 10 de marzo 08:57
@Brenda Hola Bren! Exactooo, en este ítem nosotras encontramos dos vectores $V$ que verifican lo pedido:

$V = (\frac{8}{\sqrt{2}}, -\frac{8}{\sqrt{2}})$

y

$V = (-\frac{8}{\sqrt{2}}, \frac{8}{\sqrt{2}})$

Ahora, fijate que si vos al primero lo multiplicas por $(-1)$ (un escalar negativo), obtenes el segundo (y al revés también)... y multiplicar por un número negativo a un vector nos cambia el sentido (va a mantener la dirección pero la "flecha" va a apuntar para el otro lado), de ahí deducimos que estos vectores van a estar en la misma dirección (porque la diferencia entre uno y otro fue simplemente multiplicar por un escalar), pero sentido opuesto (porque ese escalar fue negativo) 

Yo ahí te los acabo de graficar a los dos en GeoGebra para que termine de cerrar:


2025-03-10%2008:55:24_9665423.png

Avisame cualquier cosa si algo no terminó de quedar claro :)
Avatar Sarasino 11 de septiembre 17:57
flor pregunta con que haces las letras, estan muy buenas o las dibujas a mano ?

Avatar Flor Profesor 11 de septiembre 18:37
@Sarasino Es todo puro Canva jajaja 😅
Avatar Sarasino 12 de septiembre 00:12
@Flor graciass flor 

Avatar Tati 10 de septiembre 18:40
Hola flor,consulta ¿cómo se que hay infinitas soluciones en mi vector?
Avatar Flor Profesor 11 de septiembre 09:05
@Tati Hola Tati! Hubo alguna parte en particular en video que te generó duda? Es cuando hicimos el último ejercicio, que vimos que había infinitos vectores que cumplían esa condición? Si viene por ahí, fijate que en ese caso nosotros llegamos a la conclusión que, para cumplir la condición, solo basta con que nuestro vector sea de la forma $(V_1, -3/2 \cdot V_1, -2V_1)$, donde $V_1$ puede tomar cualquier número real, "nos quedó un parámetro libre" (que sería $V_1$), por eso obtuvimos infinitos vectores. 

Avisame igual si tu duda venía por otro lado o qué no terminó de cerrar y lo seguimos charlando! Igual justo esta es una de las primeras clases, tranqui, vas a ver que en a medida que vamos avanzando vamos a enfrentarnos a muchos ejercicios con infinitas soluciones, y capaz esto va a ir cerrando de a poco (en otros casos donde tengamos infinitas soluciones también va a pasar esto que nos quedan "parámetros libres", que pueden tomar cualquier valor real, como en este caso $V_1$)
Avatar Tati 11 de septiembre 17:18
@Flor Gracias esa era mi duda 
Avatar martin 28 de agosto 18:44
hola flor, no entendi para qué funciona la fórmula con el coseno si cuando haces el producto escalar solo multiplicas las x con las x las y con las y, pero desp no usas el coseno en ningun lado y ya tenes el resultado

Avatar Flor Profesor 28 de agosto 21:04
@martin Hola Martin! Para lo que nos sirve saber la fórmula es para entender qué significa ese número que obtenemos cuando calculamos el producto escalar, entender conceptualmente que está relacionado con el ángulo que une a esos vectores (y también con sus módulos). No es que cada vez que calculemos un producto escalar nos va a aparecer el coseno jajaja, nosotros lo vamos a calcular siguiendo los pasos que veíamos y eso nos va a dar un número. Ahora, sabiendo que ahí en la fórmula está metido el coseno del ángulo, entonces entendemos por qué es que si dos vectores son perpendiculares (o sea, el ángulo que forman es $\frac{\pi}{2}$, que su coseno es cero), entonces el producto escalar es cero. 

En la práctica, el concepto recontra clave que vos te tenés que llevar de esta clase y no dudar, es que si dos vectores son perpendiculares, cuando hagamos su producto escalar nos va a dar cero (y viceversa, si calculamos un producto escalar y nos da cero, entonces esos dos vectores son perpendiculares) :)
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